24. (8分)下表是某校七～九年級某月課外興趣小組活動時間統(tǒng)計表,其中各年級同一興趣小組每次活動時間相同,文藝小組每次活動時間比科技小組每次活動時間多$0.5$小時.設(shè)文藝小組每次活動時間為$x$小時,請根據(jù)表中信息完成下列問題.
| | 課外興趣小組活動總時間/時 | 文藝小組活動次數(shù) | 科技小組活動次數(shù) |
| 七年級 | $12.5$ | $4$ | $3$ |
| 八年級 | $10.5$ | $3$ | $a$ |
| 九年級 | $9.5$ | $m$ | $n$ |
(1)科技小組每次活動時間為多長時間？
(2)求八年級科技小組活動次數(shù)$a$的值；
(3)求$m + n$的值.
答案：(1)依題意得$4x + 3(x - 0.5)=12.5$，解得$x=2$，故$2 - 0.5=1.5$(時)，答：科技小組每次活動時間為1.5小時；(2)根據(jù)題意得$3×2 + 1.5a=10.5$，解得$a=3$，$\therefore a$的值為3；(3)$\because$九年級課外興趣小組活動總時間為9.5小時，$\therefore 2m + 1.5n=9.5$，$\because m$與$n$是自然數(shù)，$\therefore m=1$，$n=5$或$m=4$，$n=1$，$\therefore m + n=6$或$m + n=5$
解析：
(1) 設(shè)文藝小組每次活動時間為$x$小時，因為文藝小組每次活動時間比科技小組多$0.5$小時，所以科技小組每次活動時間為$(x - 0.5)$小時。
根據(jù)七年級數(shù)據(jù)：$4x + 3(x - 0.5) = 12.5$，
解得$x = 2$，則科技小組每次活動時間為$2 - 0.5 = 1.5$小時。
答：科技小組每次活動時間為$1.5$小時。
(2) 由(1)知文藝小組每次$2$小時，科技小組每次$1.5$小時。
根據(jù)八年級數(shù)據(jù)：$3×2 + 1.5a = 10.5$，
解得$a = 3$。
(3) 根據(jù)九年級數(shù)據(jù)：$2m + 1.5n = 9.5$，整理得$4m + 3n = 19$（$m,n$為自然數(shù)）。
當(dāng)$m = 1$時，$n = 5$；當(dāng)$m = 4$時，$n = 1$。
故$m + n = 1 + 5 = 6$或$m + n = 4 + 1 = 5$。
綜上，$m + n$的值為$5$或$6$。
25. (10分)定義：從$\angle\alpha(45^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ})$的頂點出發(fā),在$\angle\alpha$的內(nèi)部作一條射線,若該射線將$\angle\alpha$分得的兩個角中有一個角與$\angle\alpha$互為余角,則稱該射線為$\angle\alpha$的“分余線”.(1)如圖$①,\angle AOB = 70^{\circ},\angle AOC = 50^{\circ},$請判斷OC是否為$\angle AOB$的“分余線”,并說明理由；(2)若OC平分$\angle AOB,$且OC為$\angle AOB$的“分余線”,則$\angle AOB = $
$60^{\circ}$
；(3)如圖$②,\angle AOB = 155^{\circ},$在$\angle AOB$的內(nèi)部作射線OC,OM,ON,使OM為$\angle AOC$的平分線,ON為$\angle BOC$的“分余線”.當(dāng)OC為$\angle MON$的“分余線”時,求$\angle AOC$的度數(shù).
答案：(1)解：$OC$是$\angle AOB$的“分余線”，理由如下：$\because \angle AOB = 70^{\circ}$，$\angle AOC = 50^{\circ}$，$\therefore \angle BOC=\angle AOB - \angle AOC=70^{\circ}-50^{\circ}=20^{\circ}$，$\therefore \angle BOC+\angle AOB=20^{\circ}+70^{\circ}=90^{\circ}$，$\therefore OC$是$\angle AOB$的“分余線”；(2)$60^{\circ}$；(3)解：設(shè)$\angle AOC=2x$，$\because OM$為$\angle AOC$的平分線，$\therefore \angle COM=\frac{1}{2}\angle AOC=x$，$\because \angle AOB=155^{\circ}$，$\therefore \angle BOC=\angle AOB - \angle AOC=155^{\circ}-2x$，$\because ON$為$\angle BOC$的“分余線”，$OC$為$\angle MON$的“分余線”，分情況討論：①$\angle BON+\angle BOC=90^{\circ}$，$\angle MOC+\angle MON=90^{\circ}$，$\therefore \angle BON=90^{\circ}-(155^{\circ}-2x)=2x - 65^{\circ}$，$\therefore \angle MON=\angle BOM - \angle BON=155^{\circ}-x-(2x - 65^{\circ})=220^{\circ}-3x$，$\therefore x + 220^{\circ}-3x=90^{\circ}$，解得$x=65^{\circ}$，此時$\angle BOC=25^{\circ}$，不符合題意，舍去；②$\angle BON+\angle BOC=90^{\circ}$，$\angle CON+\angle MON=90^{\circ}$，$\therefore \angle BON=2x - 65^{\circ}$，$\because \angle CON=\angle BOC - \angle BON=155^{\circ}-2x-(2x - 65^{\circ})=220^{\circ}-4x$，$\therefore 220^{\circ}-4x + 220^{\circ}-3x=90^{\circ}$，解得$x=50^{\circ}$，$\therefore \angle AOC=2x=50^{\circ}×2=100^{\circ}$；③$\angle CON+\angle BOC=90^{\circ}$，$\angle MOC+\angle MON=90^{\circ}$，$\therefore \angle CON=90^{\circ}-\angle BOC=90^{\circ}-(155^{\circ}-2x)=2x - 65^{\circ}$，$\therefore \angle MON=\angle MOC+\angle CON=x + 2x - 65^{\circ}=3x - 65^{\circ}$，$\therefore x + 3x - 65^{\circ}=90^{\circ}$，解得$x=38.75^{\circ}$，$\therefore \angle AOC=2x=38.75^{\circ}×2=77.5^{\circ}$；④$\angle CON+\angle BOC=90^{\circ}$，$\angle CON+\angle MON=90^{\circ}$，$\therefore \angle CON=2x - 65^{\circ}$，且$\angle MON=\angle BOC$，$\therefore \angle MOC=\angle BON$，$\because \angle BON=(155^{\circ}-2x)-(2x - 65^{\circ})=220^{\circ}-4x$，$\therefore x=220^{\circ}-4x$，解得$x=44^{\circ}$，$\therefore \angle AOC=2x=44^{\circ}×2=88^{\circ}$，綜上所述，滿足條件的$\angle AOC$的度數(shù)為$100^{\circ}$或$77.5^{\circ}$或$88^{\circ}$
