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解：
∵ $ AE = 12\,\text{cm} $, $ BD = \frac{1}{3}AE $,
∴ $ BD = \frac{1}{3} × 12 = 4\,\text{cm} $.
圖中線段有：$ AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE $.
所有線段之和為：
$ AB + AC + AD + AE + BC + BD + BE + CD + CE + DE $.
整理得：
$ AB + (AB + BC) + (AB + BC + CD) + AE + BC + BD + (BD + DE) + CD + (CD + DE) + DE $
$ = 3AB + 3BC + 3CD + 3DE + AE + BD $
$ = 3(AB + BC + CD + DE) + AE + BD $.
∵ $ AB + BC + CD + DE = AE = 12\,\text{cm} $,
∴ 原式 $ = 3 × 12 + 12 + 4 = 36 + 12 + 4 = 52\,\text{cm} $.
答案：B

解：因為∠α和∠β互補，所以∠α + ∠β = 180°，∠α＞∠β。
①∠β的余角為90° - ∠β，正確。
②因為∠α = 180° - ∠β，所以∠α - 90° = 180° - ∠β - 90° = 90° - ∠β，正確。
③180° - ∠α = ∠β，不是∠β的余角，錯誤。
④因為∠α - ∠β = 180° - 2∠β，所以$\frac{1}{2}(\angle \alpha - \angle \beta)=\frac{1}{2}(180° - 2∠β)=90° - ∠β$，正確。
綜上，正確的是①②④。
答案：B

解：
情況一：點C在線段AB上
∵E為AC中點，AC=4cm
∴EC=AC/2=4/2=2cm
∵F為BC中點，BC=6cm
∴CF=BC/2=6/2=3cm
∴EF=EC+CF=2+3=5cm
情況二：點C在線段AB延長線上
∵E為AC中點，AC=4cm
∴EC=AC/2=4/2=2cm
∵F為BC中點，BC=6cm
∴CF=BC/2=6/2=3cm
∴EF=CF-EC=3-2=1cm
綜上，EF的長為5cm或1cm。
答案：D

解：設(shè)∠EFB=∠EFB'=x，∠GFC=∠GFC'=y。
由折疊性質(zhì)得：∠BFC=180°，∠B'FC'=α。
則∠BFB' + ∠CFC' = ∠BFC - ∠B'FC' = 180° - α。
又∠BFB'=2x，∠CFC'=2y，
∴2x + 2y = 180° - α ? x + y = 90° - α/2。
∠EFG = x + y = 90° - α/2。
答案：C

解：因為互為補角的兩個角之和為$180^{\circ}$，所以$137^{\circ}45^{\prime}$的補角為$180^{\circ} - 137^{\circ}45^{\prime}$。
$180^{\circ} = 179^{\circ}60^{\prime}$，則$179^{\circ}60^{\prime} - 137^{\circ}45^{\prime} = (179^{\circ} - 137^{\circ}) + (60^{\prime} - 45^{\prime}) = 42^{\circ}15^{\prime}$。
42°15′

解：當點C在點B右側(cè)時，AC=AB+BC=3+2=5；
當點C在點A、B之間時，AC=AB-BC=3-2=1。
故AC的長度為1或5。

解：設(shè)兩個角的度數(shù)分別為$3x$和$2x$。
因為兩角互補，所以$3x + 2x = 180^\circ$，
解得$5x = 180^\circ$，$x = 36^\circ$。
較大角的度數(shù)為$3x = 3 × 36^\circ = 108^\circ$。
108°

解：分兩種情況：
情況一：射線OC在∠AOB的外側(cè)且靠近OB。
設(shè)∠AOC = 2x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD = ∠DOC = x，
∵∠AOB = 30°，∠BOD = 40°，
∴∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 30° + 40° = 70°，
即x = 70°，
∴∠AOC = 2x = 140°。
情況二：射線OC在∠AOB的外側(cè)且靠近OA。
設(shè)∠AOC = 2x，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD = ∠DOC = x，
∵∠AOB = 30°，∠BOD = 40°，
∴∠AOD = ∠BOD - ∠AOB = 40° - 30° = 10°，
即x = 10°，
∴∠AOC = 2x = 20°。
綜上，∠AOC的度數(shù)為140°或20°。

設(shè)點$P$對應(yīng)的數(shù)為$x$，以直線$m$為數(shù)軸，設(shè)點$M$對應(yīng)的數(shù)為$0$，則點$N$對應(yīng)的數(shù)為$6$。
情況一：點$P$在點$M$、$N$之間
$CA = PM = x - 0 = x$，$CB = PN = 6 - x$
由$\frac{PM}{PN} = \frac{1}{2}$得$\frac{x}{6 - x} = \frac{1}{2}$
解得$x = 2$，即$PM = 2$。
情況二：點$P$在點$M$左側(cè)
$CA = PM = 0 - x = -x$，$CB = PN = 6 - x$
由$\frac{PM}{PN} = \frac{1}{2}$得$\frac{-x}{6 - x} = \frac{1}{2}$
解得$x = -6$，即$PM = 6$。
情況三：點$P$在點$N$右側(cè)
$CA = PM = x - 0 = x$，$CB = PN = x - 6$
由$\frac{PM}{PN} = \frac{1}{2}$得$\frac{x}{x - 6} = \frac{1}{2}$
解得$x = -6$（與點$N$右側(cè)矛盾，舍去）。
綜上，$PM = 2$或$6$。
答案：$2$或$6$