1. 觀察下列等式：
①$1^{3}= 1^{2}$；②$1^{3}+2^{3}= 3^{2}$；③$1^{3}+2^{3}+3^{3}= 6^{2}$；④$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}= 10^{2}$……根據(jù)此規(guī)律,第10個等式的右邊應(yīng)該是$a^{2}$,則$a$的值是(
C
)
A.45
B.54
C.55
D.65
答案：C 解析:等式右邊的數(shù)依次為 $1^{2},(1 + 2)^{2},(1 + 2 + 3)^{2},\cdots$，第 10 個等式的右邊應(yīng)該是 $(1 + 2 + 3+\cdots+10)^{2}=55^{2}$，所以 $a = 55$。故選 C。
2. (2025·常州期中)【提出問題】怎樣比較$2024^{2025}與2025^{2024}$的大?。?br>【分析問題】為了解決這個問題,我們先寫出它的一般形式,即比較$n^{n+1}與(n+1)^{n}$的大小($n$是正整數(shù)),然后我們從分析$n = 1$,$n = 2$,$n = 3$……中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,經(jīng)歸納、猜想,得出結(jié)論。
【探究過程】
(1) 從簡單的開始,比較下列各組中兩數(shù)的大小(在橫線上填寫“＞”“＜”或“=”)：
①$1^{2}$
＜
$2^{1}$；②$2^{3}$
＜
$3^{2}$；③$3^{4}$
＞
$4^{3}$。
(2) 根據(jù)上面的結(jié)果,經(jīng)過歸納,猜想$n^{n+1}與(n+1)^{n}$有怎樣的大小關(guān)系？
【解決問題】
(3) 根據(jù)以上探究,我們可得結(jié)論(在橫線上填寫“＞”“＜”或“=”)：
$2024^{2025}$
＞
$2025^{2024}$。
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錯題
答案：(1)①＜ ②＜ ③＞
(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，經(jīng)過歸納得當(dāng) $n ＜ 2$ 或 $n = 2$ 時，$n^{n + 1}＜(n + 1)^{n}$；當(dāng) $n = 3$ 或 $n ＞ 3$ 時，$n^{n + 1}＞(n + 1)^{n}$。
(3)＞ 解析:因為 $2024 ＞ 3$，所以 $2024^{2024 + 1}＞(2024 + 1)^{2024}$，即 $2024^{2025}＞2025^{2024}$。
3. 將正整數(shù)1,2,3,4,5,6,…,按如圖數(shù)陣排列,用數(shù)對$(m,n)$表示該數(shù)陣中從上到下、從左到右第$m行第n$個數(shù),如$(4,5)$表示14,則2024用數(shù)對表示為(
B
)
A.$(45,1)$
B.$(45,2)$
C.$(44,1)$
D.$(44,2)$
答案：B 解析:觀察題圖可知，每行的最大的數(shù)就是行數(shù)的平方，因為 $44^{2}＜2024＜45^{2}$，所以 2024 在第 45 行。又奇數(shù)行從右到左，從小到大，而偶數(shù)行從左到右，從小到大。因為 $44^{2}=1936$，$45^{2}=2025$，所以 2024 排在第 45 行從左到右第 2 個，則 2024 用數(shù)對表示為 $(45,2)$。故選 B。
4. (2024·綿陽模擬)如圖,被稱為“楊輝三角”或“賈憲三角”。其規(guī)律是從第二行起,每行兩端的數(shù)都是“1”,其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)之和,圖中兩平行線之間的一列數(shù)：1,3,6,10,15,…,我們把第一個數(shù)記為a_{1},第二個數(shù)記為a_{2},第三個數(shù)記為a_{3},…,第n個數(shù)記為a_{n},則a_{100}的值為(
C
)
A.100
B.199
C.5050
D.10000
答案：C 解析:由題意可得 $a_{1}=1$，$a_{2}=1 + 2 = 3$，$a_{3}=1 + 2 + 3 = 6$，$a_{4}=1 + 2 + 3 + 4 = 10$，$a_{5}=1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$，$\cdots$，所以 $a_{n}=1 + 2 + 3+\cdots+n=\frac{n(n + 1)}{2}$，所以當(dāng) $n = 100$ 時，$a_{100}=\frac{100×101}{2}=5050$。故選 C。
5. (2025·湖州期中)愛動腦筋的小明同學(xué)設(shè)計了如圖所示的“幻方”游戲
圖,將1,-2,3,-4,5,-6,7,-8分別填入圖中的圓圈內(nèi),使得橫、豎以及內(nèi)外兩個正方形的4個數(shù)之和都相等,他已經(jīng)將-4,5,7,-8這四個數(shù)填入了圓圈,則圖中$a + b$的值為
-5 或 -8
。
答案：-5 或 -8 解析:因為這 8 個數(shù)的和是 -4，所以橫、豎以及內(nèi)外兩個正方形的 4 個數(shù)之和都等于 -2，根據(jù)題意有 $-8 + 5 + b + 7 = -2$，所以 $b = -2 + 8 - 5 - 7 = -6$；根據(jù)內(nèi)圈正方形的 4 個數(shù)之和等于 -2，得內(nèi)圈右邊的圓圈應(yīng)填 3，則 $a = 1$ 或 -2，所以 $a + b = -5$ 或 -8。
解析：
解：這8個數(shù)的和為$1 + (-2) + 3 + (-4) + 5 + (-6) + 7 + (-8) = -4$，因為橫、豎以及內(nèi)外兩個正方形的4個數(shù)之和都相等，所以每個和為$-4÷2=-2$。
由豎列$-8 + 5 + b + 7 = -2$，解得$b=-2 - (-8 + 5 + 7)=-2 - 4=-6$。
內(nèi)圈四個數(shù)之和為$-2$，已知內(nèi)圈有$5$、$-4$、$b=-6$，設(shè)內(nèi)圈右邊的數(shù)為$x$，則$5 + (-4) + (-6) + x=-2$，解得$x=3$。
剩余的數(shù)為$1$、$-2$，所以$a$為$1$或$-2$。
當(dāng)$a=1$時，$a + b=1 + (-6)=-5$；當(dāng)$a=-2$時，$a + b=-2 + (-6)=-8$。
綜上，$a + b$的值為$-5$或$-8$。
答案：$-5$或$-8$
