8. (2025·益陽(yáng)期末)已知數(shù)軸上點(diǎn)A,B的位置如圖所示,點(diǎn)A表示的有理數(shù)為$a$,點(diǎn)B表示的有理數(shù)為$b$,$m = a + b$,則比$m$大的最小整數(shù)為(
B
)
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案：B 解析:由題圖得，$-\frac{1}{2} ＜ a ＜ 0$，$\frac{3}{2} ＜ b ＜ 2$，所以 $1 ＜ a + b ＜ 2$. 因?yàn)?$m = a + b$，所以 $1 ＜ m ＜ 2$，比 $m$ 大的最小整數(shù)為 2. 故選 B.
9. 若非零數(shù)$a$,$b滿(mǎn)足| a + b | = | a | + | b |$,則(
D
)
A.$a$,$b$均為正數(shù)
B.$a$,$b$均為負(fù)數(shù)
C.$a$,$b$異號(hào)
D.$a$,$b$同號(hào)
答案：D 解析:當(dāng) $a$，$b$ 均為正數(shù)時(shí)，$|a + b| = a + b$，$|a| + |b| = a + b$，滿(mǎn)足題意；當(dāng) $a$，$b$ 均為負(fù)數(shù)時(shí)，$|a + b| = -a - b$，$|a| + |b| = -a - b$，即 $|a + b| = |a| + |b|$，滿(mǎn)足題意；當(dāng) $a$ 為正數(shù)，$b$ 為負(fù)數(shù)時(shí)，$|a + b| = a + b$ 或 $|a + b| = -a - b$，$|a| + |b| = a - b$，兩者不相等，不符合題意；同理可知，當(dāng) $a$ 為負(fù)數(shù)，$b$ 為正數(shù)時(shí)，不符合題意. 綜上，$a$，$b$ 同號(hào)等式成立，故選 D.
10. 小穎同學(xué)做這樣一道題:計(jì)算$| - 4 + \triangle |$.其中“$\triangle$”是被墨水污染看不清的一個(gè)數(shù),她翻開(kāi)后面的答案,得知該題的計(jì)算結(jié)果是$3$,那么“$\triangle$”表示的數(shù)是
7 或 1
.
答案：7 或 1 解析:由題可知，$|-4 + \triangle| = 3$，即 $-4 + \triangle = 3$ 或 $-4 + \triangle = -3$，解得 $\triangle = 7$ 或 $\triangle = 1$.
解析：
解：由題意得，$|-4 + \triangle| = 3$，
則 $-4 + \triangle = 3$ 或 $-4 + \triangle = -3$，
當(dāng) $-4 + \triangle = 3$ 時(shí)，解得 $\triangle = 7$；
當(dāng) $-4 + \triangle = -3$ 時(shí)，解得 $\triangle = 1$。
故“$\triangle$”表示的數(shù)是 7 或 1。
11. 新題型 新定義 設(shè)用符號(hào)$( a , b )表示a$,$b$兩數(shù)中較小的數(shù),用符號(hào)$[ a , b ]表示a$,$b$兩數(shù)中較大的數(shù),試求下列各式的值.
(1)$( - 5 , - 0.5 ) + [ - 4,2 ] = $
-3
.
(2)$\left( - 1 \frac { 1 } { 2 } , 3 \right) + \left[ - 4 , \left( - \frac { 11 } { 3 } , - 7 \right) \right] =$
$-5\frac{1}{2}$
.
答案：(1)-3 解析:$(-5, -0.5) + [-4, 2] = -5 + 2 = -3$. (2)$-5\frac{1}{2}$ 解析:$\left(-1\frac{1}{2}, 3\right) + \left[-4, \left(-\frac{11}{3}, -7\right)\right] = -1\frac{1}{2} + [-4, -7] = -1\frac{1}{2} + (-4) = -5\frac{1}{2}$.
12. (1)已知$| a | = 5$,$| b | = 2$,且$a ＞ b$,則$a + b$的值為
7 或 3
.
(2)已知$| a | = 4$,$| b | = 3$,且$| a - b | = b - a$,則$a + b$的值為
-1 或 -7
.
答案：(1)7 或 3 解析:因?yàn)?$|a| = 5$，$|b| = 2$，且 $a ＞ b$，所以 $a = 5$，$b = \pm 2$，故 $a + b = 7$ 或 $a + b = 3$. (2)-1 或 -7 解析:因?yàn)?$|a| = 4$，$|b| = 3$，所以 $a = \pm 4$，$b = \pm 3$. 因?yàn)?$|a - b| = b - a$，所以 $a - b \leq 0$，即 $a \leq b$，所以當(dāng) $a = -4$，$b = -3$ 時(shí)，$a + b = -4 + (-3) = -7$，當(dāng) $a = -4$，$b = 3$ 時(shí)，$a + b = -4 + 3 = -1$. 綜上，$a + b$ 的值為 -1 或 -7.
解析：
(1)
解：∵|a|=5，|b|=2，
∴a=±5，b=±2.
∵a＞b，
∴a=5，b=2或a=5，b=-2.
當(dāng)a=5，b=2時(shí)，a+b=5+2=7；
當(dāng)a=5，b=-2時(shí)，a+b=5+(-2)=3.
∴a+b的值為7或3.
(2)
解：∵|a|=4，|b|=3，
∴a=±4，b=±3.
∵|a-b|=b-a，
∴a-b≤0，即a≤b.
∴a=-4，b=3或a=-4，b=-3.
當(dāng)a=-4，b=3時(shí)，a+b=-4+3=-1；
當(dāng)a=-4，b=-3時(shí)，a+b=-4+(-3)=-7.
∴a+b的值為-1或-7.
13. (2025·唐山期末)我國(guó)自主研發(fā)的巡邏機(jī)器人備受關(guān)注,為安保工作提供了強(qiáng)有力的支持.某天小明發(fā)現(xiàn)一個(gè)巡邏機(jī)器人正準(zhǔn)備在一條南北方向的公路上執(zhí)行治安巡邏.(規(guī)定初始位置為$0$,向北走為正,向南走為負(fù))它從初始位置到結(jié)束巡邏所走的路程(單位:$\mathrm { km }$)如下:
|次數(shù)|第一次|第二次|第三次|第四次|第五次|第六次|
|路程/$\mathrm { km }$|$+ 2$|$- 1.5$|$+ 4.5$|$- 2$|$+ 0.5$|$- 1.5$|
(1)直接寫(xiě)出巡邏機(jī)器人在這次巡邏中離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)的距離為_(kāi)___$\mathrm { km }$;
(2)通過(guò)計(jì)算,描述巡邏機(jī)器人結(jié)束巡邏時(shí)的最后位置;
(3)已知這次巡邏機(jī)器人的平均速度為$3 \mathrm { km } / \mathrm { h }$,請(qǐng)求出巡邏機(jī)器人的巡邏時(shí)間.
(1)
5
(2)
$+2 - 1.5 + 4.5 - 2 + 0.5 - 1.5 = 2(km)$，所以巡邏機(jī)器人結(jié)束巡邏時(shí)的最后位置在出發(fā)點(diǎn)北面 2 km 處.
(3)
此次巡邏共走 $|+2| + |-1.5| + |+4.5| + |-2| + |+0.5| + |-1.5| = 12(km)$，$12 ÷ 3 = 4(h)$，所以巡邏機(jī)器人的巡邏時(shí)間是 4 h.
答案：(1)5 解析:第一次:+2 km；第二次:$+2 - 1.5 = 0.5(km)$；第三次:$0.5 + 4.5 = 5(km)$；第四次:$5 - 2 = 3(km)$；第五次:$3 + 0.5 = 3.5(km)$；第六次:$3.5 - 1.5 = 2(km)$；所以巡邏機(jī)器人在這次巡邏中離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)的距離為 5 km. (2)$+2 - 1.5 + 4.5 - 2 + 0.5 - 1.5 = 2(km)$，所以巡邏機(jī)器人結(jié)束巡邏時(shí)的最后位置在出發(fā)點(diǎn)北面 2 km 處. (3)此次巡邏共走 $|+2| + |-1.5| + |+4.5| + |-2| + |+0.5| + |-1.5| = 12(km)$，$12 ÷ 3 = 4(h)$，所以巡邏機(jī)器人的巡邏時(shí)間是 4 h.
解析：
(1)5
(2)解：+2 - 1.5 + 4.5 - 2 + 0.5 - 1.5 = 2(km)
答：巡邏機(jī)器人結(jié)束巡邏時(shí)的最后位置在出發(fā)點(diǎn)北面2km處。
(3)解：|+2| + |-1.5| + |+4.5| + |-2| + |+0.5| + |-1.5| = 12(km)
12 ÷ 3 = 4(h)
答：巡邏機(jī)器人的巡邏時(shí)間是4h。
14. 小麗在$4$張同樣的紙片上各寫(xiě)了一個(gè)正整數(shù),從中隨機(jī)抽取$2$張,并將它們上面的數(shù)相加.重復(fù)這樣做,每次所得的和都是$5$,$6$,$7$,$8$中的一個(gè)數(shù),并且這$4$個(gè)數(shù)都能取到.猜猜看,小麗在$4$張紙片上各寫(xiě)下的數(shù)是
2, 3, 3, 5 或 2, 3, 4, 4
.
答案：2, 3, 3, 5 或 2, 3, 4, 4 解析:若這 4 個(gè)數(shù)從小到大排列分別為 $a$，$b$，$c$，$d$. ①當(dāng) 4 個(gè)數(shù)中最小的數(shù) $a$ 為 1 時(shí)，因?yàn)?$1 + 4 = 5$，所以 $b = 4$. 因?yàn)?$1 + 5 = 6$，$4 + 2 = 6$，所以 $c$ 只能為 5，此時(shí) $b + c = 9$，不符合題意. ②當(dāng) 4 個(gè)數(shù)中最小的數(shù) $a$ 為 2 時(shí)，因?yàn)?$2 + 3 = 5$，所以 $b = 3$. 因?yàn)?$2 + 4 = 6$，$3 + 3 = 6$，所以 $c = 3$ 或 $c = 4$，當(dāng) $c = 3$ 時(shí)，$d = 5$，當(dāng) $c = 4$ 時(shí)，$d = 4$. ③當(dāng) 4 個(gè)數(shù)中最小的數(shù) $a$ 為 3 或大于 3 的整數(shù)時(shí)，無(wú)法得出和為 5 的結(jié)果，不符合題意. 綜上所述，四個(gè)數(shù)分別為 2, 3, 3, 5 或 2, 3, 4, 4.
解析：
解：設(shè)這4個(gè)數(shù)從小到大排列分別為$a$，$b$，$c$，$d$。
1. 最小和為$a + b = 5$，最大和為$c + d = 8$。
2. 當(dāng)$a = 2$時(shí)，$b = 3$。
若$c = 3$，則$d = 8 - 3 = 5$，此時(shí)數(shù)為2，3，3，5，可得到和5（2+3）、6（3+3）、7（2+5）、8（3+5）。
若$c = 4$，則$d = 8 - 4 = 4$，此時(shí)數(shù)為2，3，4，4，可得到和5（2+3）、6（2+4）、7（3+4）、8（4+4）。
3. 當(dāng)$a \geq 3$時(shí)，無(wú)法得到和5，不符合題意。
結(jié)論：2，3，3，5 或 2，3，4，4。
15. 還記得小時(shí)候經(jīng)常玩的填數(shù)游戲嗎?一起用有理數(shù)來(lái)試試吧!
(1)請(qǐng)?jiān)趫D①的各個(gè)圓圈內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù),使每個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)都等于與它相鄰的兩個(gè)數(shù)的和;
(2)如圖②,在$3 × 3$的方格中補(bǔ)全數(shù)字,使得每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和相等;
(3)如圖③,請(qǐng)將$2$,$3$,$4$,$5$,$6$,$7$,$8$,$9$,$10填入3 × 3$的方格中,使得每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和相等.
答案：(1)如圖①所示 (2)$2 + 3 + 4 = 9$，則每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和均為 9，所填結(jié)果如圖②所示 (3)因?yàn)?$2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 54$，所以三行所有數(shù)的和為 54，所以每一行的三個(gè)數(shù)之和為 18，類(lèi)比(2)中的規(guī)律，中間格應(yīng)填 6，相加等于 12 的兩個(gè)數(shù)對(duì)稱(chēng)排列，如圖③所示. (答案不唯一)
