1.「2025江蘇無(wú)錫惠山期中」下列說(shuō)法中正確的是 (
C
)
A.三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓
B.長(zhǎng)度相等的弧是等弧
C.直徑所對(duì)的圓周角是直角
D.正五邊形是中心對(duì)稱圖形
答案：C A. 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓, 不符合題意; B. 在同圓或等圓中, 長(zhǎng)度相等的弧是等弧, 不符合題意; C. 直徑所對(duì)的圓周角是直角, 正確, 符合題意; D. 正五邊形不是中心對(duì)稱圖形, 不符合題意. 故選 C.
2.「2024四川宜賓中考」如圖,AB是$\odot O$的直徑,若$∠CDB= 60^{\circ }$,則$∠ABC$的度數(shù)等于 (
A
)
A.$30^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$90^{\circ }$
答案：A ∵ AB 是⊙O 的直徑, ∴ ∠ACB = 90°, ∵ ∠CDB = 60°, ∴ ∠A = ∠CDB = 60°, ∴ ∠ABC = 90° - ∠A = 30°. 故選 A.
3.「2024吉林中考」如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于$\odot O$,過(guò)點(diǎn)B作$BE// AD$,交CD于點(diǎn)E.若$∠BEC= 50^{\circ }$,則$∠ABC$的度數(shù)是 (
C
)
A.$50^{\circ }$
B.$100^{\circ }$
C.$130^{\circ }$
D.$150^{\circ }$
答案：C ∵ BE // AD, ∴ ∠ADC = ∠BEC = 50°, ∵ 四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙O, ∴ ∠ABC = 180° - ∠ADC = 130°. 故選 C.
4.「2025湖北武漢江漢期中」在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為$(3,-4)$,以P為圓心,4個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作圓,下列說(shuō)法正確的是 (
C
)
A.原點(diǎn)O在$\odot P$內(nèi)
B.原點(diǎn)O在$\odot P$上
C.$\odot P$與x軸相切,與y軸相交
D.$\odot P$與y軸相切,與x軸相交
答案：C ∵ 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(3, -4), ∴ 點(diǎn) P 到 x 軸的距離為 4, 到 y 軸的距離為 3, 到原點(diǎn)的距離為 $\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$, ∵ 以 P 為圓心, 4 個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作圓, ∴ 原點(diǎn) O 在⊙P 外, ⊙P 與 x 軸相切, 與 y 軸相交, 故選項(xiàng) A, B, D 不符合題意, 選項(xiàng) C 符合題意. 故選 C.
5.「2025浙江臺(tái)州三門月考」如圖,$\odot O$的直徑AB的長(zhǎng)度為定值a,AM和BN是它的兩條切線,DE與$\odot O$相切于點(diǎn)E,并與AM,BN分別相交于點(diǎn)D,C,設(shè)$AD= x,BC= y$,當(dāng)x,y的值變化時(shí),下列代數(shù)式的值不變的是 ( )
A.$x-y$
B.$x+y$
C.xy
D.$x^{2}+y^{2}$
答案：C 如圖, 作 DF ⊥ BN 于 F. ∵ AM, BN 與⊙O 切于點(diǎn) A, B, ∴ AB ⊥ AM, AB ⊥ BN, 又 ∵ DF ⊥ BN, ∴ ∠BAD = ∠ABC = ∠BFD = 90°, ∴ 四邊形 ABFD 是矩形, ∴ BF = AD = x, DF = AB = a, ∵ BC = y, ∴ FC = BC - BF = y - x. ∵ DE 切⊙O 于 E, ∴ DE = DA = x, CE = CB = y, 則 DC = DE + CE = x + y, 在 Rt△DFC 中, 由勾股定理得 $(x + y)^{2} = (y - x)^{2} + a^{2}$, ∴ $xy = \frac{a^{2}}{4}$, ∴ 代數(shù)式的值不變的是 xy. 故選 C.
6.「2025湖南長(zhǎng)沙雨花月考」如圖,點(diǎn)E是$\triangle ABC$的內(nèi)心,AE的延長(zhǎng)線和$\triangle ABC$的外接圓相交于點(diǎn)D,與BC相交于點(diǎn)G,則下列結(jié)論:①$∠BAD= ∠CAD$;②若點(diǎn)G為BC的中點(diǎn),則$∠BGD= 90^{\circ }$;③連接BE,CE,若$∠BAC= 40^{\circ }$,則$∠BEC= 140^{\circ }$;④$BD= DE$.其中一定正確的個(gè)數(shù)是 ( )
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：B ∵ 點(diǎn) E 是 △ABC 的內(nèi)心, ∴ AD 平分 ∠BAC, ∴ ∠BAD = ∠CAD, 故①正確; 如圖, 設(shè) △ABC 外接圓圓心為 O, 連接 OD, 則 OD 垂直平分 BC, 若點(diǎn) G 為 BC 的中點(diǎn), 則點(diǎn) G 為 OD 與 BC 的交點(diǎn), 即 ∠BGD = 90°, 故②正確; 若 ∠BAC = 40°, 則 ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠BAC = 140°, ∵ 點(diǎn) E 是 △ABC 的內(nèi)心, ∴ ∠EBC = ∠ABE = $\frac{1}{2}$∠ABC, ∠ECB = ∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB, ∴ ∠BEC = 180° - (∠EBC + ∠ECB) = 180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = 180° - $\frac{1}{2}$×140° = 110°, 故③錯(cuò)誤; ∵ ∠BAD = ∠CAD, ∴ $\overparen{BD} = \overparen{CD}$, ∴ ∠DBC = ∠BAD, ∵ ∠DBE = ∠DBC + ∠EBC, ∠DEB = ∠BAD + ∠ABE, ∴ ∠DBE = ∠DEB, ∴ BD = DE, 故④正確. 綜上, 正確的有 3 個(gè). 故選 B.
7.「2023江西南昌青山湖期末」若用反證法證明“圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑”,第一步是提出假設(shè):
圓的切線不垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑
.
答案：答案 圓的切線不垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑
8.「2024山東煙臺(tái)中考」如圖,在邊長(zhǎng)為6的正六邊形ABCDEF中,以點(diǎn)F為圓心,以FB的長(zhǎng)為半徑作$\overset{\frown }{BD}$,剪下圖中陰影部分做一個(gè)圓錐的側(cè)面,則這個(gè)圓錐的底面半徑為______.
答案：答案 $\sqrt{3}$
解析 ∵ 多邊形 ABCDEF 是正六邊形, ∴ ∠BAF = ∠AFE = $\frac{(6 - 2)×180°}{6} = 120°$, AB = AF, ∴ ∠AFB = ∠ABF = $\frac{1}{2}$×(180° - 120°) = 30°, 同理, ∠EFD = 30°, ∴ ∠BFD = 120° - 30° - 30° = 60°. 如圖, 過(guò)點(diǎn) A 作 AG ⊥ BF 于點(diǎn) G, 則 BG = FG,
在 Rt△AFG 中, ∵ ∠AFB = 30°, AF = 6, ∴ FG = $3\sqrt{3}$, ∴ BF = 2FG = $6\sqrt{3}$, 設(shè)圓錐的底面圓的半徑為 r, 則 $2πr = \frac{60π×6\sqrt{3}}{180}$, ∴ $r = \sqrt{3}$.
9.「2024甘肅蘭州中考」“輪動(dòng)發(fā)石車”是我國(guó)古代的一種投石工具,在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期被廣泛應(yīng)用,如圖1所示的是陳列在展覽館的仿真模型.如圖2所示的是模型驅(qū)動(dòng)部分的示意圖,其中$\odot M,\odot N$的半徑分別是1 cm和10 cm,當(dāng)$\odot M$順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)3周時(shí),$\odot N$上的點(diǎn)P隨之旋轉(zhuǎn)$n^{\circ }$,則$n=$
108
.
答案：答案 108
解析 由題易知⊙M 的周長(zhǎng)為 $2π$ cm, ∴ ⊙M 順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 3 周時(shí), 點(diǎn) P 移動(dòng)的弧長(zhǎng)為 $6π$ cm, ∴ $6π = \frac{nπ×10}{180}$, 解得 n = 108.
