1. 下列命題正確的是(
D
)
A. 各邊相等的多邊形是正多邊形
B. 正多邊形一定是中心對稱圖形
C. 正多邊形外接圓的圓心角是它的中心角
D. 正多邊形外接圓的半徑是它的半徑
答案：D 各邊相等，各內(nèi)角相等的多邊形是正多邊形，故 A 錯誤；當(dāng)正多邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時，它一定是中心對稱圖形，故 B 錯誤；正多邊形每一邊所對的圓心角是它的中心角，故 C 錯誤；正多邊形外接圓的半徑是正多邊形的半徑，故 D 正確。故選 D。
2. [2024 四川南充模擬]如圖,A,B,C 是正多邊形的頂點(diǎn),O 是正多邊形的中心,若△AOC 是等邊三角形,則正多邊形的邊數(shù)為(
C
)
A. 6
B. 9
C. 12
D. 15
答案：C 連接 OB（圖略），∵△AOC 是等邊三角形，∴∠AOC = 60°，∵點(diǎn) A，B，C 是正多邊形的頂點(diǎn)，O 是正多邊形的中心，∴∠AOB = ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOC = 30°，即正多邊形的中心角的度數(shù)為 30°，設(shè)這個正多邊形為正 n 邊形，∴$\frac{360°}{n}$ = 30°，∴n = 12。故選 C。
3. [2024 天津河?xùn)|期末]如圖,正六邊形 ABCDEF 的中心為原點(diǎn) O,頂點(diǎn) B,E 在 x 軸上,半徑為 4,則頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為( )
A. $(2,2\sqrt {3})$
B. $(2,-2\sqrt {3})$
C. $(2,-4)$
D. $(2\sqrt {3},-4)$
答案：B 如圖，連接 OD，OC，設(shè) CD 交 y 軸于 G，易知 OG⊥CD?！哒呅?ABCDEF 的中心為原點(diǎn) O，
∴∠COD = $\frac{360°}{6}$ = 60°，∵OC = OD = 4，OG⊥CD，∴∠GOD = $\frac{∠COD}{2}$ = 30°，∴DG = 2，∴OG = $\sqrt{OD2 - DG2}$ = $2\sqrt{3}$，∴點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（2，$-2\sqrt{3}$）。故選 B。
4. 新數(shù)學(xué)文化 劉徽是中國古代卓越的數(shù)學(xué)家之一,他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”,即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積.如圖,設(shè)⊙O 的半徑為 2,若用⊙O 的內(nèi)接正六邊形的面積來近似估計⊙O 的面積,則⊙O 的面積約為____(結(jié)果保留根號).
答案：答案 $6\sqrt{3}$
解析 如圖，連接 OA、OB，由題意可得∠AOB = 360°÷6 = 60°?！逴A = OB = 2，
∴△OAB 為等邊三角形，∴AB = 2。過點(diǎn) O 作 OM⊥AB 于點(diǎn) M，則 AM = BM = 1。
在 Rt△AOM 中，OM = $\sqrt{22 - 12}$ = $\sqrt{3}$，∴$S_{△AOB}$ = $\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$，∴⊙O 的面積約為 $6S_{△AOB}$ = $6\sqrt{3}$。
5. 學(xué)科特色教材變式 P108 習(xí)題 T1 求半徑為 2 的圓的內(nèi)接正三角形,正方形,正六邊形的邊長、邊心距、中心角和面積.將結(jié)果填寫在表中：
正三角形：邊長
$2\sqrt{3}$
，邊心距
1
，中心角
120°
，面積
$3\sqrt{3}$
；正方形：邊長
$2\sqrt{2}$
，邊心距
$\sqrt{2}$
，中心角
90°
，面積
8
；正六邊形：邊長
2
，邊心距
$\sqrt{3}$
，中心角
60°
，面積
$6\sqrt{3}$
答案：解析 結(jié)果如下表：
正圓的多邊內(nèi)接形 邊長 邊心距 中心角 面積
正三角形 $2\sqrt{3}$ 1 120° $3\sqrt{3}$
正方形 $2\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ 90° 8
正六邊形 2 $\sqrt{3}$ 60° $6\sqrt{3}$
6. 如圖,已知⊙O 和⊙O 上的一點(diǎn) A,請完成下列任務(wù)：
(1)用尺規(guī)作⊙O 的內(nèi)接正六邊形 ABCDEF.
(2)連接 BF,CE,判斷四邊形 BCEF 的形狀并加以證明.
答案：解析 （1）如圖 1，首先作直徑 AD，然后分別以 A，D 為圓心，OA 長為半徑畫弧，交⊙O 于點(diǎn) B，F(xiàn)，C，E，連接 AB，BC，CD，DE，EF，AF，則正六邊形 ABCDEF 即為所求。
（2）四邊形 BCEF 是矩形。證明：如圖 2，連接 OE，∵六邊形 ABCDEF 是正六邊形，∴AB = AF = DE = DC = FE = BC，∴$\overset{\frown}{AB}$ = $\overset{\frown}{AF}$ = $\overset{\frown}{DE}$ = $\overset{\frown}{DC}$，∴$\overset{\frown}{BF}$ = $\overset{\frown}{CE}$，∴BF = CE，∴四邊形 BCEF 是平行四邊形?！吡呅?ABCDEF 為正六邊形，∴∠EDC = ∠FED = $\frac{(6 - 2)×180°}{6}$ = 120°。∵DE = DC，∴∠DEC = ∠DCE = 30°，∴∠CEF = ∠DEF - ∠CED = 90°，∴四邊形 BCEF 是矩形。
7. [2023 四川內(nèi)江中考,★☆]如圖,正六邊形 ABCDEF 內(nèi)接于⊙O,點(diǎn) P 在$\overset{\frown }{AB}$上,點(diǎn) Q 是$\overset{\frown }{DE}$的中點(diǎn),則∠CPQ 的度數(shù)為( )
A. $30^{\circ }$
B. $45^{\circ }$
C. $36^{\circ }$
D. $60^{\circ }$
答案：B 如圖，連接 OC，OD，OQ，OE，
∵六邊形 ABCDEF 是正六邊形，∴∠COD = ∠DOE = $\frac{360°}{6}$ = 60°，∵Q 是$\overset{\frown}{DE}$的中點(diǎn)，∴∠DOQ = ∠EOQ = $\frac{1}{2}$∠DOE = 30°，∴∠COQ = ∠COD + ∠DOQ = 90°，∴∠CPQ = $\frac{1}{2}$∠COQ = 45°。故選 B。
8. [2024 山東濟(jì)寧中考,★☆]如圖,邊長為 2 的正六邊形 ABCDEF 內(nèi)接于⊙O,則它的內(nèi)切圓半徑為( )
A. 1
B. 2
C. $\sqrt {2}$
D. $\sqrt {3}$
答案：D 如圖，連接 OA，OB，過點(diǎn) O 作 OG⊥AB 于 G：
∵六邊形 ABCDEF 是圓的內(nèi)接正六邊形，且邊長為 2，∴∠AOB = $\frac{360°}{6}$ = 60°，AB = 2，
又∵OA = OB，
∴△OAB 為等邊三角形，∴OA = AB = 2，
∵OG⊥AB，∴∠AOG = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×60° = 30°，
∴在 Rt△OAG 中，AG = $\frac{1}{2}$OA = 1，
由勾股定理可得 OG = $\sqrt{3}$，
易知 OG 為正六邊形 ABCDEF 的內(nèi)切圓半徑，
∴正六邊形 ABCDEF 的內(nèi)切圓半徑為 $\sqrt{3}$。
