14.「新課標 創(chuàng)新意識」老師設(shè)計了一個接力游戲,通過合作的方式用配方法解一元二次方程,規(guī)則:每人只能看到前一人給的式子,并進行一步計算,再將結(jié)果傳遞給下一人,最后解出方程.過程如圖所示:
老師：$x^{2}+2x-3= 0$
甲：$x^{2}+2x+1= 3$
乙：$(x+1)^{2}= 3$
丙：$x+1= \sqrt {3}$
?。?x= \sqrt {3}-1$
接力中,自己負責的一步出現(xiàn)錯誤的是(
C
)
A.只有甲
B.甲和乙
C.甲和丙
D.丙和丁
答案：C $ x ^ { 2 } + 2 x - 3 = 0 $，配方，得 $ x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 3 + 1 $，故甲出現(xiàn)錯誤。$ x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 3 $，整理得 $ ( x + 1 ) ^ { 2 } = 3 $，故乙正確。$ ( x + 1 ) ^ { 2 } = 3 $，$ \therefore x + 1 = \pm \sqrt { 3 } $，故丙出現(xiàn)錯誤。$ x + 1 = \sqrt { 3 } $，移項得 $ x = \sqrt { 3 } - 1 $，故丁正確。$ \therefore $ 接力中，自己負責的一步出現(xiàn)錯誤的是甲和丙。故選 C。
15.「新課標 模型觀念」觀察下列式子:
$x^{2}+4x+2= (x^{2}+4x+4)-2= (x+2)^{2}-2$,
$\because (x+2)^{2}≥0,\therefore x^{2}+4x+2= (x+2)^{2}-2≥-2$,
原式有最小值,是-2;
$-x^{2}+2x-3= -(x^{2}-2x+1)-2= -(x-1)^{2}-2$,
$\because -(x-1)^{2}≤0,\therefore -x^{2}+2x-3= -(x-1)^{2}-2≤-2$,原式有最大值,是-2.
解答下列問題:
(1)求代數(shù)式$2x^{2}-4x+1$的最小值.
-1
(2)解決實際問題:在緊靠圍墻的空地上,用長為100米的木柵欄圍成一個長方形花圃(如圖),設(shè)花圃中垂直于圍墻的一邊的長度為x米,完成下列任務(wù).
①用含x的式子表示花圃的面積.
$-2x^{2}+100x$
②當x取何值時,花圃的面積最大? 花圃的最大面積是多少平方米?
當$x=$
25
時，花圃的面積最大，為
1250
平方米。
答案：解析 (1) $ 2 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 2 ( x ^ { 2 } - 2 x + 1 - 1 ) + 1 = 2 ( x - 1 ) ^ { 2 } - 1 $，$ \because ( x - 1 ) ^ { 2 } \geq 0 $，
$ \therefore 2 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 2 ( x - 1 ) ^ { 2 } - 1 \geq - 1 $，原式有最小值，是 -1。
(2) ① 花圃的面積：$ x ( 100 - 2 x ) = ( - 2 x ^ { 2 } + 100 x ) $ 平方米。
② $ - 2 x ^ { 2 } + 100 x = - 2 ( x - 25 ) ^ { 2 } + 1250 $，
由題意得 $ \left\{ \begin{array} { l } { x ＞ 0, } \\ { 100 - 2 x ＞ 0, } \end{array} \right. $ 則 $ 0 ＜ x ＜ 50 $，
$ \because 0 ＜ 25 ＜ 50 $，$ - 2 ( x - 25 ) ^ { 2 } \leq 0 $，
$ \therefore - 2 x ^ { 2 } + 100 x = - 2 ( x - 25 ) ^ { 2 } + 1250 \leq 1250 $，
$ \therefore $ 當 $ x = 25 $ 時，花圃的面積最大，為 1250 平方米。
例題 已知$P= \frac {7}{15}m-1,Q= m^{2}-\frac {8}{15}m$(m為任意實數(shù)),比較大小:$P$
＜
$Q$.(填“＜”“＞”或“=”)
答案：答案 ＜
解析 $ Q - P = m ^ { 2 } - \frac { 8 } { 15 } m - \left( \frac { 7 } { 15 } m - 1 \right) = m ^ { 2 } - m + 1 = \left( m - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } $，$ \because \left( m - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \geq 0 $，$ \therefore \left( m - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } \geq \frac { 3 } { 4 } ＞ 0 $，$ \therefore P ＜ Q $。
變式1【二次項系數(shù)改為不為1】「2023江蘇無錫江南大學附中二?！挂阎?M= 2x^{2}-2x+3,N= 4x^{2}-3x+4$,請比較M和N的大小.
解：
$M < N$
答案：解析 $ \because M = 2 x ^ { 2 } - 2 x + 3 $，$ N = 4 x ^ { 2 } - 3 x + 4 $，$ \therefore M - N = ( 2 x ^ { 2 } - 2 x + 3 ) - ( 4 x ^ { 2 } - 3 x + 4 ) = 2 x ^ { 2 } - 2 x + 3 - 4 x ^ { 2 } + 3 x - 4 = - 2 x ^ { 2 } + x - 1 = - 2 \left( x - \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { 2 } - \frac { 7 } { 8 } ＜ 0 $，$ \therefore M ＜ N $。
變式2【單字母改為雙字母】「2024北京十五中期中」試判斷代數(shù)式$a^{2}+2b^{2}+11與2ab+2a+4b$的大小,并說明理由.
答案：解析 $ a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } + 11 ＞ 2 a b + 2 a + 4 b $。理由如下：$ \because ( a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } + 11 ) - ( 2 a b + 2 a + 4 b ) = a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } + 11 - 2 a b - 2 a - 4 b = [ ( a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } ) + ( - 2 a + 2 b ) + 1 ] + ( b ^ { 2 } - 6 b + 9 ) + 1 = [ ( a - b ) ^ { 2 } - 2 ( a - b ) + 1 ] + ( b - 3 ) ^ { 2 } + 1 = ( a - b - 1 ) ^ { 2 } + ( b - 3 ) ^ { 2 } + 1 ＞ 0 $，$ \therefore a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } + 11 ＞ 2 a b + 2 a + 4 b $。
