1. [2024 湖南常德期中]若 $ x_1 $,$ x_2 $ 是方程 $ x^2 - 7x - 8 = 0 $ 的兩個根,則(
A
)
A. $ x_1 + x_2 = 7 $
B. $ x_1 + x_2 = -7 $
C. $ x_1x_2 = \frac{8}{7} $
D. $ x_1x_2 = 8 $
答案：A $\because x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-7x-8=0$的兩個根，$\therefore x_{1}+x_{2}=7,x_{1}x_{2}=-8$。故選 A。
2. [2025 河南新鄉(xiāng)延津期中]若 $ a $,$ b $ 是方程 $ x^2 - 2x - 2024 = 0 $ 的兩根,則 $ a + b - ab $ 的值為(
C
)
A. 2024
B. 2025
C. 2026
D. 2027
答案：C 由根與系數(shù)的關系得$a+b=-\frac{-2}{1}=2,ab=\frac{-2024}{1}=-2024$，所以$a+b-ab=2-(-2024)=2+2024=2026$。故選 C。
3. 特色 多解法 若 $ x = -2 $ 是一元二次方程 $ x^2 + 2x + m = 0 $ 的一個根,則方程的另一個根及 $ m $ 的值分別是(
B
)
A. 0,-2
B. 0,0
C. -2,-2
D. -2,0
答案：B 【解法一】根與系數(shù)的關系法：設方程的另一個根為$a$，則$-2+a=-2$，$\therefore a=0$。$\because -2×0=m$，$\therefore m=0$（經(jīng)檢驗，滿足題意），故選 B。
【解法二】代入法：$\because x=-2$是一元二次方程$x^{2}+2x+m=0$的一個根，$\therefore 4-4+m=0$，解得$m=0$，則原方程為$x^{2}+2x=0$，解得$x_{1}=-2,x_{2}=0$。故選 B。
4. [2025 福建漳州薌城期中]已知關于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 6x + k + 1 = 0 $ 的兩個實數(shù)根分別是 $ x_1 $,$ x_2 $,且 $ x_1^2 + x_2^2 = 24 $,則 $ k $ 的值是(
D
)
A. 8
B. -7
C. 6
D. 5
答案：D $\because$方程$x^{2}-6x+k+1=0$的兩個實數(shù)根分別是$x_{1},x_{2}$，$\therefore x_{1}+x_{2}=6,x_{1}x_{2}=k+1$，$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=36-2k-2=24$，$\therefore k=5$。故選 D。
5. 特色 多解法 [2025 廣東廣州海珠期中]關于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + 8x - c = 0 $ 的兩根為 1 和 -3,則 $ a $,$ c $ 的值分別為(
B
)
A. 4,-12
B. 4,12
C. -4,12
D. -4,-12
答案：B 【解法一】根與系數(shù)的關系法：$\because$關于$x$的方程$ax^{2}+8x-c=0$的兩根為 1 和$-3$，$\therefore 1+(-3)=-\frac{8}{a},1×(-3)=-\frac{c}{a}$，$\therefore a=4,c=12$。
【解法二】代入法：$\because$關于$x$的方程$ax^{2}+8x-c=0$的兩根為 1 和$-3$，$\therefore \left\{\begin{array}{l} a+8-c=0,\\ 9a-24-c=0,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l} a=4,\\ c=12.\end{array}\right.$
【解法三】因式分解法：$\because$關于$x$的方程$ax^{2}+8x-c=0$的兩根為 1 和$-3$，$\therefore$方程可化為$a(x-1)(x+3)=0$，整理得$ax^{2}+2ax-3a=0$，$\therefore 2a=8$，$\therefore a=4$，$\therefore c=3a=12$。故選 B。
6. 特色 易錯題 [2025 山東濱州無棣期中]若關于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (m^2 - 1)x + m = 0 $ 的兩個實數(shù)根互為相反數(shù),則 $ m $ 的值為(
C
)
A. -1 或 1
B. -1 或 0
C. -1
D. 0
答案：C 設方程的兩個實數(shù)根為$a,b$，$\because a,b$互為相反數(shù)，$\therefore a+b=m^{2}-1=0,ab=m\leqslant0$，$\therefore m=-1$。故選 C。
易錯點 易忽略互為相反數(shù)的兩數(shù)乘積為非正數(shù)這一條件。
7. [2024 四川瀘州中考改編]已知 $ x_1 $,$ x_2 $ 是一元二次方程 $ x^2 - 3x - 5 = 0 $ 的兩個實數(shù)根,則 $ (x_1 - x_2)^2 + 3x_1x_2 $ 的值是
14
,$ (x_1 + 1)(x_2 + 1) $ 的值是
-1
。
答案：答案 14；-1
解析 $\because x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-3x-5=0$的兩個實數(shù)根，$\therefore x_{1}+x_{2}=3,x_{1}x_{2}=-5$。$\therefore (x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2}=x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}x_{2}=3^{2}-(-5)=9+5=14$，$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})+1=-5+3+1=-1$。
8. [2025 湖北武漢月考]已知關于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2m + 3)x + m^2 + 2 = 0 $。
(1)若方程有實數(shù)根,求實數(shù) $ m $ 的取值范圍。
$m\geqslant-\frac{1}{12}$
(2)若方程兩實數(shù)根分別為 $ x_1 $,$ x_2 $,且滿足 $ x_1^2 + x_2^2 = 19 $,求實數(shù) $ m $ 的值。
1
答案：解析 (1)$\because$關于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2m+3)x+m^{2}+2=0$有實數(shù)根，
$\therefore \Delta =[-(2m+3)]^{2}-4(m^{2}+2)=4m^{2}+12m+9-4m^{2}-8=12m+1\geqslant0$，$\therefore m\geqslant-\frac{1}{12}$。
(2)$\because$方程兩實數(shù)根分別為$x_{1},x_{2}$，$\therefore x_{1}+x_{2}=2m+3,x_{1}x_{2}=m^{2}+2$，$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=19$，$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=19$，
$\therefore (2m+3)^{2}-2(m^{2}+2)=19$，整理得$m^{2}+6m-7=0$，解得$m=1$或$m=-7$，由(1)知$m\geqslant-\frac{1}{12}$，$\therefore m=1$。
9. [2025 云南昆明盤龍月考,★☆]關于方程 $ 3x^2 - \sqrt{6}x - 4 = 0 $ 的四種說法正確的是(
D
)
A. 有兩個相等的實數(shù)根
B. 無實數(shù)根
C. 兩實數(shù)根的和為 $ \frac{\sqrt{6}}{6} $
D. 兩實數(shù)根的積為 $ -\frac{4}{3} $
答案：D 由題意可知$\Delta =(-\sqrt{6})^{2}-4×3×(-4)=54＞0$，$\therefore$原方程有兩個不相等的實數(shù)根，故 A，B 錯誤；設方程$3x^{2}-\sqrt{6}x-4=0$的兩個根為$\alpha,\beta$，$\therefore \alpha+\beta=\frac{\sqrt{6}}{3},\alpha\beta=-\frac{4}{3}$，故 C 錯誤，D 正確。故選 D。
10. 特色 多解法 [★☆]若實數(shù) $ m $,$ n $ 是一元二次方程 $ x^2 - 2x - 3 = 0 $ 的兩個根,且 $ m ＜ n $,則點 $ (m, n) $ 所在象限為(
B
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案：B 【解法一】根與系數(shù)的關系法：$\because m,n$是一元二次方程$x^{2}-2x-3=0$的兩個根，$\therefore mn=-3＜0$，$\therefore m,n$異號，又$\because m＜n$，$\therefore m＜0,n＞0$。$\therefore$點$(m,n)$在第二象限。故選 B。
【解法二】解方程法：因式分解，得$(x-3)(x+1)=0$，即$x-3=0$或$x+1=0$，解得$x_{1}=3,x_{2}=-1$，$\because m＜n$，$\therefore m=-1,n=3$，$\therefore$點$(m,n)$在第二象限。故選 B。
方法解讀 用韋達定理判別一元二次方程兩根正負
對于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(\Delta\geqslant0)$，$x_{1},x_{2}$分別是該方程的兩個實數(shù)根，若$\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}＞0,\\ x_{1}\cdot x_{2}＞0,\end{array}\right.$則$\left\{\begin{array}{l} x_{1}＞0,\\ x_{2}＞0;\end{array}\right.$若$\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}＜0,\\ x_{1}\cdot x_{2}＞0,\end{array}\right.$則$\left\{\begin{array}{l} x_{1}＜0,\\ x_{2}＜0;\end{array}\right.$若$x_{1}\cdot x_{2}＜0$，則$\left\{\begin{array}{l} x_{1}＞0,\\ x_{2}＜0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} x_{1}＜0,\\ x_{2}＞0.\end{array}\right.$
11. [2024 山東日照中考,★☆]已知,實數(shù) $ x_1 $,$ x_2 $($ x_1 \neq x_2 $)是關于 $ x $ 的方程 $ kx^2 + 2kx + 1 = 0 $($ k \neq 0 $)的兩個根。若 $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 2 $,則 $ k $ 的值為(
B
)
A. 1
B. -1
C. $ \frac{1}{2} $
D. $ -\frac{1}{2} $
答案：B 由根與系數(shù)的關系得$x_{1}+x_{2}=-\frac{2k}{k}=-2,x_{1}x_{2}=\frac{1}{k}$，
$\because \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=2$，$\therefore \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=2$，即$x_{1}+x_{2}=2x_{1}x_{2}$，$\therefore -2=2×\frac{1}{k}$，解得$k=-1$，則方程可化為$-x^{2}-2x+1=0$，$\because \Delta =(-2)^{2}-4×(-1)×1=8＞0$，$\therefore$方程有兩個不相等的實數(shù)根，$\therefore k$的值為$-1$。故選 B。
12. [2023 四川瀘州中考,★☆]若一個菱形的兩條對角線長分別是關于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 10x + m = 0 $ 的兩個實數(shù)根,且其面積為 11,則該菱形的邊長為(
C
)
A. $ \sqrt{3} $
B. $ 2\sqrt{3} $
C. $ \sqrt{14} $
D. $ 2\sqrt{14} $
答案：C 設菱形的兩條對角線長分別為$a,b$，由題意，得$\left\{\begin{array}{l} a+b=10,\\ ab=22.\end{array}\right.$$\therefore$菱形的邊長$=\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{2})^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{(a+b)^{2}-2ab}=\frac{1}{2}\sqrt{100-44}=\frac{1}{2}\sqrt{56}=\sqrt{14}$。故選 C。
