10.「2024 四川巴中南江月考,」下列方程中,適合用因式分解法的是(
C
)
A.$x^{2}-4\sqrt {2}x+1= 0$
B.$2x^{2}= x-3$
C.$(x-2)^{2}= 3x-6$
D.$x^{2}-10x-9= 0$
答案：C A. 等號(hào)左邊不能分解因式，故不適合用因式分解法解此方程；B. 方程整理得$2x^{2}-x + 3 = 0$，等號(hào)左邊不能分解因式，故不適合用因式分解法解此方程；C. 方程整理得$(x - 2)^{2}-3(x - 2)=0$，因式分解得$(x - 5)(x - 2)=0$，適合用因式分解法解此方程；D. 等號(hào)左邊不能分解因式，故不適合用因式分解法解此方程。故選 C。
11. 新定義題「2023 遼寧沈陽(yáng)新民期中,」若$a,b$是兩個(gè)實(shí)數(shù),定義一種運(yùn)算“$\triangle $”：$a\triangle b= a(a+b)$,則方程$x\triangle (x-1)= 2x-1$的實(shí)數(shù)根是(
A
)
A.$x_{1}= \frac {1}{2},x_{2}= 1$
B.$x_{1}= 2,x_{2}= 1$
C.$x_{1}= -2,x_{2}= 1$
D.$x_{1}= -\frac {1}{2},x_{2}= 1$
答案：A ∵$x\triangle(x - 1)=2x - 1$，∴$x(x + x - 1)=2x - 1$，方程整理得$(2x - 1)(x - 1)=0$，于是有$2x - 1 = 0$或$x - 1 = 0$，∴$x_{1}=\frac{1}{2}$，$x_{2}=1$。故選 A。
12.「2024 內(nèi)蒙古赤峰中考,」等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是方程$x^{2}-10x+21= 0$的兩個(gè)根,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為(
C
)
A.17 或 13
B.13 或 21
C.17
D.13
答案：C $x^{2}-10x + 21 = 0$，因式分解，得$(x - 3)(x - 7)=0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=7$。∵$3 + 3 = 6＜7$，∴不符合三角形的三邊關(guān)系，應(yīng)舍去；∵$3 + 7 = 10＞7$，∴滿(mǎn)足三角形的三邊關(guān)系，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)是$7 + 7 + 3 = 17$。故選 C。
13. 易錯(cuò)題「2025 山東青島市南期中,」若實(shí)數(shù)$x滿(mǎn)足(x^{2}+x)(x^{2}+x-2)-15= 0$,則$x^{2}+x$的值為(
5
)
A.-3
B.5
C.-3 或 5
D.3 或-5
答案：B 設(shè)$y = x^{2}+x$，則原方程變形為$y(y - 2)-15 = 0$，整理得$y^{2}-2y - 15 = 0$，解得$y_{1}=5$，$y_{2}=-3$。
【方法一】用配方法求范圍檢驗(yàn)：$y = x^{2}+x=(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}≥-\frac{1}{4}$，∴$x^{2}+x = 5$。
【方法二】用根的判別式檢驗(yàn)：當(dāng)$y = 5$時(shí)，$x^{2}+x = 5$，即$x^{2}+x - 5 = 0$，此時(shí)$\Delta = 1^{2}-4×1×(-5)=21＞0$，滿(mǎn)足條件；當(dāng)$y = -3$時(shí)，$x^{2}+x = -3$，即$x^{2}+x + 3 = 0$，此時(shí)$\Delta = 1^{2}-4×1×3=-11＜0$，方程無(wú)解，舍去?！?x^{2}+x = 5$。故選 B。
易錯(cuò)點(diǎn) 易忽視換元法所設(shè)“新元”有“新范圍”從而忽略檢驗(yàn)。
14. 多解法「2025 重慶萬(wàn)州月考,」用因式分解法解方程$x^{2}+px-6= 0$,若將左邊分解后有一個(gè)因式是$x-6$,則$p$的值是______
-5
.
答案：答案 -5
解析 【解法一】設(shè)另一個(gè)因式為$x + a$，則$(x + a)(x - 6)=x^{2}+(a - 6)x - 6a = x^{2}+px - 6$，∴$-6a = -6$，∴$a = 1$，∴$p = a - 6 = -5$。
【解法二】∵$x - 6$是該方程左邊分解后的一個(gè)因式，∴原方程可轉(zhuǎn)化的兩個(gè)方程之一為$x - 6 = 0$，∴$x = 6$是原方程的一個(gè)根，把$x = 6$代入原方程，得$6^{2}+6p - 6 = 0$，∴$p = -5$。
15.「」已知關(guān)于$x$的一元二次方程$2x^{2}-(k+2)x+k= 0$.
(1)求證：無(wú)論$k$為何值,方程總有實(shí)數(shù)根.
證明：∵$b^{2}-4ac = [-(k + 2)]^{2}-4×2×k = k^{2}+4k + 4 - 8k = k^{2}-4k + 4=(k - 2)^{2}≥0$，∴無(wú)論$k$為何值，方程總有實(shí)數(shù)根。
(2) 多解法 若方程的兩根分別為$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}= 2x_{2}$,求$k$的值.
【解法一】因式分解法：
將方程因式分解可得$(2x - k)(x - 1)=0$，解得$x = 1$或$x=\frac{k}{2}$。
當(dāng)$x_{1}=\frac{k}{2}$，$x_{2}=1$時(shí)，$\frac{k}{2}=2$，解得$k = 4$；當(dāng)$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{k}{2}$時(shí)，$1 = 2×\frac{k}{2}$，解得$k = 1$。綜上所述，$k =$
1或4
。
【解法二】公式法：
∵$b^{2}-4ac=(k - 2)^{2}$，∴$x=\frac{(k + 2)±(k - 2)}{2×2}$，∴$x=\frac{k + 2 + k - 2}{2×2}=\frac{k}{2}$或$x=\frac{k + 2 - k + 2}{2×2}=1$。
當(dāng)$x_{1}=\frac{k}{2}$，$x_{2}=1$時(shí)，$\frac{k}{2}=2$，解得$k = 4$；當(dāng)$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{k}{2}$時(shí)，$1 = 2×\frac{k}{2}$，解得$k = 1$。綜上所述，$k =$
1或4
。
答案：解析 (1) 證明：∵$b^{2}-4ac = [-(k + 2)]^{2}-4×2×k = k^{2}+4k + 4 - 8k = k^{2}-4k + 4=(k - 2)^{2}≥0$，∴無(wú)論$k$為何值，方程總有實(shí)數(shù)根。
(2) 【解法一】因式分解法：
將方程因式分解可得$(2x - k)(x - 1)=0$，解得$x = 1$或$x=\frac{k}{2}$。
當(dāng)$x_{1}=\frac{k}{2}$，$x_{2}=1$時(shí)，$\frac{k}{2}=2$，解得$k = 4$；當(dāng)$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{k}{2}$時(shí)，$1 = 2×\frac{k}{2}$，解得$k = 1$。綜上所述，$k = 1$或$k = 4$。
【解法二】公式法：
∵$b^{2}-4ac=(k - 2)^{2}$，∴$x=\frac{(k + 2)±(k - 2)}{2×2}$，∴$x=\frac{k + 2 + k - 2}{2×2}=\frac{k}{2}$或$x=\frac{k + 2 - k + 2}{2×2}=1$。
當(dāng)$x_{1}=\frac{k}{2}$，$x_{2}=1$時(shí)，$\frac{k}{2}=2$，解得$k = 4$；當(dāng)$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{k}{2}$時(shí)，$1 = 2×\frac{k}{2}$，解得$k = 1$。綜上所述，$k = 1$或$k = 4$。
16. 創(chuàng)新意識(shí) 定義：若兩個(gè)一元二次方程有且只有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根,我們就稱(chēng)這兩個(gè)方程為“同伴方程”.例如$x^{2}= 4和(x-2)(x+3)= 0有且只有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根x= 2$,所以這兩個(gè)方程為“同伴方程”.若關(guān)于$x的方程ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)的參數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足a+b+c= 0和a-b+c= 0$,且該方程與$(x+2)(x-n)= 0$為“同伴方程”,則$n= $
1 或 -1
.
答案：答案 1 或 -1
解析 ∵$a + b + c = 0$，$a - b + c = 0$，∴關(guān)于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = 0$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$?！?(x + 2)(x - n)=0$，∴$x + 2 = 0$或$x - n = 0$，∴$(x + 2)(x - n)=0$的根為$x_{1}=-2$，$x_{2}=n$，∵$ax^{2}+bx + c = 0$與$(x + 2)(x - n)=0$為“同伴方程”，∴$n = 1$或$n = -1$。
17. 運(yùn)算能力 閱讀理解題「2024 云南昆明五華月考」解方程$(x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4= 0$時(shí),我們可以將$x^{2}-1$視為一個(gè)整體,設(shè)$x^{2}-1= y$,則$y^{2}= (x^{2}-1)^{2}$,故原方程可化為$y^{2}-5y+4= 0$,解此方程,得$y_{1}= 1,y_{2}= 4$.當(dāng)$y= 1$時(shí),$x^{2}-1= 1$,故$x^{2}= 2$,解得$x= \pm \sqrt {2}$；當(dāng)$y= 4$時(shí),$x^{2}-1= 4$,故$x^{2}= 5$,解得$x= \pm \sqrt {5}$.
∴原方程的解為$x_{1}= -\sqrt {2},x_{2}= \sqrt {2},x_{3}= -\sqrt {5},x_{4}= \sqrt {5}$.
以上方法就叫換元法,達(dá)到了降次的目的,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.
運(yùn)用上述方法解下列方程：
(1)$x^{4}-3x^{2}-4= 0$.
解：設(shè)$x^{2}=$
$a$
，則原方程可化為
$a^{2}-3a - 4 = 0$
，因式分解得
$(a - 4)(a + 1)=0$
，∴
$a - 4 = 0$
或
$a + 1 = 0$
，解得$a_{1}=$
$4$
，$a_{2}=$
$-1$
（不合題意，舍去），∴$x^{2}=$
$4$
，∴$x_{1}=$
$2$
，$x_{2}=$
$-2$
。
(2)$(x^{2}+2x)^{2}-(x^{2}+2x)-6= 0$.
解：設(shè)$x^{2}+2x=$
$y$
，則原方程可化為
$y^{2}-y - 6 = 0$
，因式分解得
$(y - 3)(y + 2)=0$
，∴$y_{1}=$
$3$
，$y_{2}=$
$-2$
。當(dāng)$y =$
$3$
時(shí)，
$x^{2}+2x - 3 = 0$
，解得$x_{1}=$
$-3$
，$x_{2}=$
$1$
；當(dāng)$y =$
$-2$
時(shí)，
$x^{2}+2x + 2 = 0$
，無(wú)解。故方程的解為$x_{1}=$
$-3$
，$x_{2}=$
$1$
。
答案：解析 (1) 設(shè)$x^{2}=a$，則原方程可化為$a^{2}-3a - 4 = 0$，因式分解得$(a - 4)(a + 1)=0$，∴$a - 4 = 0$或$a + 1 = 0$，解得$a_{1}=4$，$a_{2}=-1$（不合題意，舍去），∴$x^{2}=4$，∴$x_{1}=2$，$x_{2}=-2$。
(2) 設(shè)$x^{2}+2x = y$，則原方程可化為$y^{2}-y - 6 = 0$，因式分解得$(y - 3)(y + 2)=0$，∴$y_{1}=3$，$y_{2}=-2$。當(dāng)$y = 3$時(shí)，$x^{2}+2x - 3 = 0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$；當(dāng)$y = -2$時(shí)，$x^{2}+2x + 2 = 0$，無(wú)解。故方程的解為$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$。
