1.「2025遼寧沈陽期中」下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是 (
D
)
A. $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $
B. $ \frac { 1 } { x ^ { 2 } } + \frac { 1 } { x } = 2 $
C. $ y ^ { 2 } + 2 x = - 1 $
D. $ 3 ( x + 1 ) ^ { 2 } = 2 ( x + 1 ) $
答案：D A. 當(dāng) $ a = 0 $ 時(shí)，原方程不是一元二次方程；B. 方程 $ \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}=2 $ 中含有分式，不是一元二次方程；C. $ y^{2}+2x=-1 $ 中含有 2 個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程；D. $ 3(x + 1)^{2}=2(x + 1) $，整理得 $ 3x^{2}+4x + 1 = 0 $，是一元二次方程. 故選 D.
2.「2024河北秦皇島盧龍期中」方程 $ k x ^ { 2 } + 3 x = x ^ { 2 } + 5 $ 是關(guān)于x的一元二次方程,則k的取值范圍是 (
C
)
A. $ k \neq 0 $
B. $ k \neq - 1 $
C. $ k \neq 1 $
D. $ k \neq \pm 1 $
答案：C 原方程化為一般形式為 $ (k - 1)x^{2}+3x - 5 = 0 $，∵ 方程 $ kx^{2}+3x = x^{2}+5 $ 是關(guān)于 $ x $ 的一元二次方程，∴ $ k - 1 \neq 0 $，解得 $ k \neq 1 $. 故選 C.
3.「2025河北定州期中」將方程 $ 5 x ^ { 2 } - x = 7 x $ 化為一般形式后,二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是 (
D
)
A. 5,7,-1
B. -5,7,1
C. 5,-7,-1
D. 5,-8,0
答案：D ∵ 方程 $ 5x^{2}-x = 7x $ 化成一般形式是 $ 5x^{2}-8x = 0 $，∴ 二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為 $ 5 $，$ -8 $，$ 0 $. 故選 D.
4.「2024廣東深圳南山模擬」若關(guān)于x的方程 $ m x ^ { 3 } + 2 x ^ { n } - 3 x + 1 = 0 $ 是一元二次方程,則 $ m + n = $
2
.
答案：答案 2
解析 ∵ 關(guān)于 $ x $ 的方程 $ mx^{3}+2x^{n}-3x + 1 = 0 $ 是一元二次方程，∴ $ m = 0 $，$ n = 2 $，∴ $ m + n = 2 $.
5.「2025湖南婁底婁星期中」若關(guān)于x的一元二次方程 $ ( m - 1 ) x ^ { 2 } + x + m ^ { 2 } - 1 = 0 $ 的常數(shù)項(xiàng)為0,則m的值是____
-1
.
答案：答案 -1
解析 ∵ 一元二次方程 $ (m - 1)x^{2}+x + m^{2}-1 = 0 $ 的常數(shù)項(xiàng)為 0，∴ $ \begin{cases}m - 1 \neq 0,\\m^{2}-1 = 0,\end{cases} $ 解得 $ m = -1 $.
6. 把下列方程化為一元二次方程的一般形式,并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).
(1) $ 2 x ^ { 2 } = 1 - 3 x $.
一般形式為
$2x^{2}+3x - 1 = 0$
，二次項(xiàng)系數(shù)為
2
，一次項(xiàng)系數(shù)為
3
，常數(shù)項(xiàng)為
-1
.
(2) $ 5 x ( x - 2 ) = 4 x ^ { 2 } - 3 x $.
一般形式為
$x^{2}-7x = 0$
，二次項(xiàng)系數(shù)為
1
，一次項(xiàng)系數(shù)為
-7
，常數(shù)項(xiàng)為
0
.
答案：解析 (1) 方程 $ 2x^{2}=1 - 3x $ 化成一般形式為 $ 2x^{2}+3x - 1 = 0 $，二次項(xiàng)系數(shù)為 2，一次項(xiàng)系數(shù)為 3，常數(shù)項(xiàng)為 -1.
(2) 方程 $ 5x(x - 2)=4x^{2}-3x $ 化成一般形式為 $ x^{2}-7x = 0 $，二次項(xiàng)系數(shù)為 1，一次項(xiàng)系數(shù)為 -7，常數(shù)項(xiàng)為 0.
7.「2025廣東河源龍川期中」若關(guān)于x的方程 $ x ^ { 2 } - k x - 4 = 0 $ 有一個(gè)根為-1,則k的值為 (
C
)
A. -4
B. -3
C. 3
D. 4
答案：C 把 $ x = -1 $ 代入方程 $ x^{2}-kx - 4 = 0 $ 得 $ 1 + k - 4 = 0 $，解得 $ k = 3 $. 故選 C.
8.「2024廣東深圳中考」一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 3 x + a = 0 $ 的一個(gè)解為 $ x = 1 $,則 $ a = $
2
.
答案：答案 2
解析 將 $ x = 1 $ 代入一元二次方程得 $ 1 - 3 + a = 0 $，解得 $ a = 2 $.
9.「2024四川南充中考」已知m是方程 $ x ^ { 2 } + 4 x - 1 = 0 $ 的一個(gè)根,則 $ ( m + 5 ) ( m - 1 ) $ 的值為
-4
.
答案：答案 -4
解析 把 $ x = m $ 代入 $ x^{2}+4x - 1 = 0 $，得 $ m^{2}+4m - 1 = 0 $，∴ $ m^{2}+4m = 1 $，∴ $ (m + 5)(m - 1)=m^{2}-m + 5m - 5 = m^{2}+4m - 5 = 1 - 5 = -4 $.
10. (1) 填表:
| $ x $ | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $ x^{2}-4x $ | 21 | 12 | 5 | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 |
(2) 觀察表格,哪些數(shù)是一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 4 x = - 3 $ 的根?
1和3
答案：解析 (1) 填表如下：
| $ x $ | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $ x^{2}-4x $ | 21 | 12 | 5 | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 |
(2) 觀察表格可知，當(dāng) $ x = 1 $ 或 $ x = 3 $ 時(shí)，$ x^{2}-4x = -3 $，所以 1 和 3 是方程 $ x^{2}-4x = -3 $ 的根.
11.「2025山西太原迎澤月考」要組織一場籃球聯(lián)賽,每兩隊(duì)之間只賽一場,計(jì)劃安排15場比賽,如果邀請x個(gè)球隊(duì)參加比賽,根據(jù)題意,列出方程為 (
C
)
A. $ x ( x - 1 ) = 15 $
B. $ x ( x + 1 ) = 15 $
C. $ \frac { x ( x - 1 ) } { 2 } = 15 $
D. $ \frac { x ( x + 1 ) } { 2 } = 15 $
答案：C 邀請 $ x $ 個(gè)球隊(duì)參加比賽，每兩隊(duì)之間只賽一場，每個(gè)隊(duì)都與其他 $ (x - 1) $ 個(gè)球隊(duì)賽一場，所以全部比賽共 $ \frac{x(x - 1)}{2} $ 場，列方程為 $ \frac{x(x - 1)}{2}=15 $. 故選 C.
12.「2024重慶沙坪壩期中」某公園計(jì)劃在一塊長為10米,寬為8米的矩形草坪中央劃分出一塊30平方米的矩形區(qū)域作為寵物樂園,若寵物樂園四周草坪的寬度都一樣,記為x米,根據(jù)題意,可列出方程為
(8 - 2x)(10 - 2x)=30
.(不化簡,不解答)
答案：答案 $ (8 - 2x)(10 - 2x)=30 $
解析 由題意可知中央矩形區(qū)域的長為 $ (10 - 2x) $ 米，寬為 $ (8 - 2x) $ 米，則根據(jù)矩形面積公式可列方程為 $ (8 - 2x)(10 - 2x)=30 $.
