解：
1. 原正方體表面積：
正方體棱長為 $8$ 厘米，表面積公式為 $6 \times \text{棱長}^2，$
即 $8 \times 8 \times 6 = 384$（平方厘米）。
2. 挖洞后減少的表面積：
挖去的長方體洞在正方體表面形成一個(gè)邊長為 $2$ 厘米的正方形開口，減少的面積為該正方形的面積，
即 $2 \times 2 = 4$（平方厘米）。由于洞貫穿正方體，前后表面各減少一個(gè)正方形，共減少 $4 \times 2 = 8$（平方厘米）。
3. 挖洞后增加的表面積：
洞的內(nèi)部為長方體，其側(cè)面積為增加的表面積。長方體的高為正方體棱長 $8$ 厘米，底面周長為 $2 \times 4 = 8$（厘米），
側(cè)面積為 $8 \times 8 = 64$（平方厘米）。
4. 剩下物體的表面積：
原表面積減去減少的面積，加上增加的面積：
$384 - 8 + 64 = 440$（平方厘米）。
答： 剩下物體的表面積是 $440$ 平方厘米。
