證明：過點$F$作$FM \perp AB，$垂足為$M，$作$FN \perp BC，$垂足為$N，$連接$BF。$
∵$F$是$\angle BAC$與$\angle BCA$的平分線交點，
∴$BF$是$\angle ABC$的平分線（三角形三條角平分線交于一點），
∴$MF = FN$（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）。
∵$\angle ABC = 60^\circ，$四邊形$BMFN$中，$\angle BMF = \angle BNF = 90^\circ，$
∴$\angle MFN = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ。$
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - \angle B = 120^\circ，$
∵$AD，$$CE$分別平分$\angle BAC，$$\angle BCA，$
∴$\angle FAC = \frac{1}{2}\angle BAC，$$\angle FCA = \frac{1}{2}\angle BCA，$
∴$\angle FAC + \angle FCA = \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle BCA) = 60^\circ，$
∴$\angle CFA = 180^\circ - (\angle FAC + \angle FCA) = 120^\circ，$
∴$\angle DFE = \angle CFA = 120^\circ$（對頂角相等），
即$\angle MFN = \angle DFE = 120^\circ。$
∵$\angle MFN = \angle MFD + \angle DFN，$$\angle DFE = \angle DFN + \angle NFE，$
∴$\angle MFD = \angle NFE。$
在$\triangle DMF$和$\triangle ENF$中，
$\begin{cases} \angle DMF = \angle ENF = 90^\circ \\MF = NF \\\angle MFD = \angle NFE \end{cases}，$
∴$\triangle DMF \cong \triangle ENF$（ASA），
∴$FE = FD。$
