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$\frac{1}{2}a^{2}$

25

 要使拼成的圖形周長(zhǎng)最長(zhǎng)，應(yīng)將兩個(gè)三角形最短的邊拼在一起，這樣重合的邊最短，剩余的邊之和最長(zhǎng)。已知三角形三邊長(zhǎng)分別為12cm，16cm，20cm，其中最短邊為12cm。

 兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之和為$2\times(12 + 16 + 20)=96\,\text{cm}，$拼合后重合的邊為12cm，故拼成圖形的周長(zhǎng)為$96 - 2\times12=72\,\text{cm}。$

 因此，周長(zhǎng)最長(zhǎng)為$72\,\text{cm}。$

【答案】：
$\frac{1}{2}a^{2}$

【解析】：
設(shè)過(guò)點(diǎn)E作AD的平行線交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作AB的平行線交AD于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線交BC于點(diǎn)Q。
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，邊長(zhǎng)為$a$，BD是對(duì)角線，所以$\angle ABD = \angle ADB = 45^\circ$。
設(shè)$AM = x$，則$ME = x$（等腰直角三角形），陰影部分中上方矩形面積為$x \cdot a$；設(shè)$BP = y$，則$PF = y$，陰影部分中下方矩形面積為$y \cdot (a - x)$。
由圖形可知$x + y = a$，陰影部分總面積為$x \cdot a + y \cdot (a - x) = ax + ay - xy$，又因?yàn)?y = a - x$，代入得$ax + a(a - x) - x(a - x) = ax + a^2 - ax - ax + x^2 = a^2 - ax + x^2$，此方法復(fù)雜。
換用割補(bǔ)法，將陰影部分平移拼接，可組成一個(gè)長(zhǎng)為$a$，寬為$\frac{a}{2}$的矩形，故面積為$\frac{1}{2}a^2$。
$\frac{1}{2}a^{2}$

【答案】：
25

【解析】：
正方形邊長(zhǎng)為$10\,cm$，其面積為$10×10 = 100\,cm^2$。
七巧板中，陰影部分為小正方形。原正方形面積被分成$16$個(gè)小等腰直角三角形（每個(gè)小三角形面積相等），小正方形由$4$個(gè)小三角形組成。
每個(gè)小三角形面積為$\frac{100}{16} = \frac{25}{4}\,cm^2$，則陰影部分面積為$4×\frac{25}{4} = 25\,cm^2$。
$25$

如圖

【答案】：
72 cm

【解析】：
拼三角形情況
以12cm邊重合：周長(zhǎng)為$16 + 20 + 16 + 20 = 72\,cm$
以16cm邊重合：周長(zhǎng)為$12 + 20 + 12 + 20 = 64\,cm$
以20cm邊重合：周長(zhǎng)為$12 + 16 + 12 + 16 = 56\,cm$
拼四邊形情況
以12cm邊重合：周長(zhǎng)為$16 + 20 + 16 + 20 = 72\,cm$
以16cm邊重合：周長(zhǎng)為$12 + 20 + 12 + 20 = 64\,cm$
以20cm邊重合：周長(zhǎng)為$12 + 16 + 12 + 16 = 56\,cm$
周長(zhǎng)最長(zhǎng)為$72\,cm$

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