【解析】：
這道題考查電路故障分析，需要用到的知識點是電路中電流的流向以及短路和斷路的特點。
分析題目條件，閉合開關$S$后，電流表指針沒有偏轉(zhuǎn)，說明電路中存在斷路故障。
當將一根導線分別并接在$BC$、$DE$兩端時，電流表指針都沒有偏轉(zhuǎn)，這表明$BC$和$DE$所在部分不是導致整個電路斷路的關鍵位置。
當將導線并接在$AB$兩端時，電流表指針發(fā)生了偏轉(zhuǎn)，這意味著$AB$之間存在斷路，使得原本的斷路故障被導線連接后電路導通，電流表有示數(shù)。
逐一分析選項：
選項A：若$L_1$斷路，符合上述分析，當導線連接$AB$兩端時，電路導通，電流表有示數(shù)，該選項正確。
選項B：若$L_2$斷路，那么將導線連接$AB$兩端時，電路仍然是斷路，電流表不會有示數(shù)，該選項錯誤。
選項C：若電流表短路，那么無論導線連接何處，電流表都不會有示數(shù)，該選項錯誤。
選項D：若開關接觸不良，將導線連接$AB$兩端時，電路依舊是斷路，電流表不會有示數(shù)，該選項錯誤。
【答案】：
A
