解：?$(1)$?過點(diǎn)?$A(-3，$??$1)$?且與?$y$?軸平行的直線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)都為?$-3$?
∴?$2\ \mathrm {m}+1=-3，$?解得?$m=-2$?
?$ $?則點(diǎn)?$P $?的坐標(biāo)為?$(2×(-2)+1，$??$3×(-2)+2)=(-3，$??$-4)$?
?$ (2)$?點(diǎn)?$P $?向右平移?$2$?個(gè)單位長(zhǎng)度，橫坐標(biāo)變?yōu)?$2\ \mathrm {m}+1+2=2\ \mathrm {m}+3；$?
向上平移?$3$?個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)變?yōu)?$3\ \mathrm {m}+2+3=3\ \mathrm {m}+5$?
∴點(diǎn)?$M$?的坐標(biāo)為?$(2\ \mathrm {m}+3，$??$3\ \mathrm {m}+5)。$?
∵點(diǎn)?$M$?在第三象限，所以橫坐標(biāo)小于?$0，$?縱坐標(biāo)小于?$0$?
且點(diǎn)?$M$?到?$y$?軸的距離為?$7，$?即?$|2\ \mathrm {m}+3|=7$?
由于第三象限橫坐標(biāo)為負(fù)，∴?$2\ \mathrm {m}+3=-7，$?解得?$m=-5$?
?$ $?此時(shí)縱坐標(biāo)?$3\ \mathrm {m}+5=3×(-5)+5=-10＜0，$?符合題意
∴點(diǎn)?$M$?的坐標(biāo)為?$(-7，$??$-10)$?
