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證明：連接?$DE$?

∵?$AD$?是?$?ABC$?的高線，?$E$?是?$AC$?的中點

∴在?$Rt?ADC$?中，?$DE=\frac 12AC$?

∵?$BD=\frac 12AC，$?∴?$DE=BD$?

∴?$?BDE$?是等腰三角形

∵?$F $?是?$BE$?的中點

∴?$DF⊥BE$?

解：∵?$AD $?平分?$∠BAC，$?∴?$∠BAD = ∠CAD$?

∵?$DE//AC，$?∴?$∠CAD = ∠ADE$?

∴?$∠BAD = ∠ADE，$?∴?$AE = DE$?

∵?$BD ⊥ AD，$?∴?$∠ADB = 90°$?

∴?$∠ADE + ∠BDE = 90°，$??$∠BAD + ∠ABD = 90°$?

∴?$∠BDE = ∠ABD，$?∴?$BE = DE，$?∴?$BE = DE = AE$?

∵?$AB = 5，$?∴?$DE=\frac 12\ \mathrm {A}B=2.5$?

?$(1)$?證明：∵?$PM⊥OA，$?∴?$∠OMP=90°$?

在?$Rt?OMP $?中，?$D$?是?$OP $?的中點，∴?$DM=\frac 12OP=DO$?

∴?$∠DMO=∠DOM，$?∴?$∠MDP=2∠MOP$?

同理可知，?$∠NDP=2∠NOP$?

∴?$∠MDN=∠MDP+∠NDP=2∠MON$?

?$(2)$?解：?$∠MDN=2∠MON，$?理由如下：

∵?$PM⊥OA，$?∴?$∠OMP=90°$?

在?$Rt?OMP $?中，?$D$?是?$OP $?的中點，∴?$DM=\frac 12OP=DO$?

∴?$∠DMO=∠DOM，$?∴?$∠MDP=2∠MOP$?

同理可知，?$∠NDP=2∠NOP$?

∴?$∠MDN=∠NDP-∠MDP=2(∠NOP-∠MOP)=2∠MON$?

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