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證明：過點(diǎn)?$P {作}P D⊥BC$?于點(diǎn)?$D$?
∵?$BP $?是?$?ABC$?的外角平分線，?$PM⊥AB，$??$P D⊥BC$?
∴?$PM=P D$?
∵?$CP $?是?$?ABC$?的外角平分線，?$PN⊥AC，$??$P D⊥BC$?
∴?$PN=P D$?
∴?$PM=PN$?
又∵?$PM⊥AB，$??$PN⊥AC$?
∴?$AP $?平分?$∠MAN$?


?$(1)$?證明：過點(diǎn)?$P {作}PE⊥OA$?于點(diǎn)?$E，$??$PF⊥OB$?于點(diǎn)?$F$?
∵?$OC$?是?$∠AOB$?的角平分線，∴?$PE=PF，$??$∠PEM=∠PFN=90°$?
∵?$∠MPE+∠MPF=90°，$??$∠NPF+∠MPF=90°$?
∴?$∠MPE=∠NPF$?
在?$△PME$?和?$△PNF {中}$?
?$ \begin {cases}{∠PEM=∠PFN}\\{PE=PF}\\{∠MPE=∠NPF}\end {cases}$?
∴?$△PME≌△ PNF(AS A)$?
∴?$PM=PN$?
?$(2)$?過點(diǎn)?$P {作}PE⊥OA$?于點(diǎn)?$E，$??$PF⊥OB$?于點(diǎn)?$F$?
∵?$OC$?是?$∠AOB$?的角平分線，∴?$PE=PF，$??$∠PEM=∠PFN=90°$?
∵?$∠MPE+∠MPF=90°，$??$∠NPF+∠MPF=90°$?
∴?$∠MPE=∠NPF$?
在?$△PME$?和?$△PNF {中}$?
?$ \begin {cases}{∠PEM=∠PFN}\\{PE=PF}\\{∠MPE=∠NPF}\end {cases}$?
∴?$△PME≌△ PNF(AS A)$?
∴?$PM=PN$?
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