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第56頁

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解：連接?$OP$?
?$ $?若?$BP $?與圓?$O$?相切，則?$OP⊥PB$?
∵?$AB=OA，$??$OA=OP$?
∴?$OB=2OP，$??$∠OPB= 90°$?
∴?$∠B= 30° $?
∴?$∠POB=60°$?
∵?$OA=3\ \mathrm {cm}$?
?$ \widehat {AP}=\frac {60×π×3}{180}=π\(zhòng)mathrm {cm}$?
∵圓的周長為?$2×π×3=6π\(zhòng)mathrm {cm}$?
∴當?$t= 1s{或5}s $?時，有?$BP $?與圓?$O$?相切

證明：?$ $?連接?$OE ， DE$?
∵?$CD$?是圓?$O$?的直徑
∴?$∠AED =∠CED =90° $?
∵?$G $?是?$Rt△AED$?的斜邊中點
∴?$EG=\frac 12AD= DG$?
∴?$∠1 =∠2$?
∵?$OE= OD $?
∴?$∠3 =∠4$?
∴?$∠1+∠3 =∠2+∠4$?
∴?$∠OEG=∠ODG = 90°$?
故?$GE$?是圓?$O$?的切線
解：如圖所示，
當與?$PA$?相切時，切點記作點?$C，$?與?$PB$?的切點記作點?$D$?

∵圓?$O$?與?$PA$?相切，與?$PB$?相切
∴?$∠PCO=∠PDO=90°$?
∵?$OC=OD$?
∴?$OP $?是?$∠APB$?的角平分線
∴?$ ∠OPD=\frac 12∠APB=30°$?
∴?$OP=2OD=2$?
在?$Rt△POD$?中，?$ PD=\sqrt {PO^2-OD^2}=\sqrt {3}，$?
即圓心?$O$?移動的距離為?$ \sqrt {3}$?
解：作?$∠ABC、$??$∠ACB$?的角平分線，相交于點?$D，$?
則點?$D$?即為亭子應(yīng)修建的位置
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