解：假設$\sqrt{5}$是有理數(shù)，那么它可以表示為$\frac{p}{q}$（$p，$$q$是互質的正整數(shù)）。
則$\sqrt{5}=\frac{p}{q}，$兩邊平方得$5=\frac{p^{2}}{q^{2}}，$即$p^{2}=5q^{2}。$
由此可知$p^{2}$是$5$的倍數(shù)，因為一個數(shù)的平方是$5$的倍數(shù)，那么這個數(shù)本身也是$5$的倍數(shù)，所以設$p = 5k$（$k$是正整數(shù)）。
將$p = 5k$代入$p^{2}=5q^{2}，$得$(5k)^{2}=5q^{2}，$即$25k^{2}=5q^{2}，$化簡得$q^{2}=5k^{2}。$
這又說明$q^{2}$是$5$的倍數(shù)，所以$q$也是$5$的倍數(shù)。
這樣$p$和$q$都有因數(shù)$5，$與$p，$$q$互質矛盾。
所以假設不成立，即$\sqrt{5}$是無理數(shù)。
