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電子課本網(wǎng) 第172頁

第172頁

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$-10$
$(4,4)$或$(4,-4)$
解: (3) 在等腰$Rt\triangle OCB$中,點$C(-12,0),$所以$OC = 12,$則點$B(-6,6)。$
所以直線$OB$的表達式為$y=-x。$
解方程$x + 10=-x,$得$x=-5。$

(2)知直線$y = x + 10$與$x$軸的交點為$(-10,0),$當$-10\lt m\lt -5$時,函數(shù)$y = x + 10$關(guān)于直線$x = m$的“V型函數(shù)”圖象與$\triangle OCB$的邊只有兩個交點。
因為直線$y = x + 10$與$\triangle OCB$的邊已經(jīng)有兩個交點,所以函數(shù)$y = x + 10$關(guān)于直線$x = m$的“V型函數(shù)”圖象與$\triangle OCB$的邊不能再有交點,即函數(shù)$y = x + 10$關(guān)于直線$x = m$的“V型函數(shù)”圖象與$x$軸的交點(較靠左的一個)在點$C(-12,0)$的左側(cè)。
因為$C(-12,0)$與點$(-10,0)$關(guān)于直線$x=-11$對稱,所以$m=-11$時,函數(shù)$y = x + 10$關(guān)于直線$x = m$的“V型函數(shù)”圖象經(jīng)過點$C(-12,0),$所以當函數(shù)$y = x + 10$關(guān)于直線$x = m$的“V型函數(shù)”圖象與$\triangle OCB$的邊只有兩個交點時,$m$的取值范圍為$-10\lt m\lt -5$或$m\lt -11。$
解:(1) ①當點$P$在$y$軸的正半軸上時,過點$P'$作$P'A\perp x$軸于點$A,$
因為$P'$恰好在一次函數(shù)$y = 2x + 3$的圖象上,設(shè)$P'(m,2m + 3),$所以$P'A=-2m - 3。$
因為點$Q$的坐標為$(4,0),$所以$OQ = 4。$
因為$PQ\perp P'Q,$所以$\angle PQA+\angle AQP' = 90^{\circ},$又因為$\angle AQP'+\angle AP'Q = 90^{\circ},$所以$\angle AP'Q=\angle OQP。$
在$\triangle AP'Q$和$\triangle OQP$中,
$\begin{cases}\angle P'AQ=\angle QOP = 90^{\circ}\\\angle AP'Q=\angle OQP\\P'Q = QP\end{cases},$所以$\triangle AP'Q\cong\triangle OQP(AAS),$所以$AP' = OQ,$即$-2m - 3 = 4,$解得$m=-\frac{7}{2},$所以$P'\left(-\frac{7}{2},-4\right)。$
②當點$P$在$y$軸的負半軸上時,過點$P'$作$P'B\perp x$軸于點$B,$
因為$P'$恰好在一次函數(shù)$y = 2x + 3$的圖象上,設(shè)$P'(m,2m + 3),$所以$P'B = 2m + 3。$
同①可得$\triangle P'BQ\cong\triangle QOP,$所以$P'B = OQ,$即$2m + 3 = 4,$解得$m=\frac{1}{2},$所以$P'\left(\frac{1}{2},4\right)。$
綜上,點$P'$的坐標為$\left(-\frac{7}{2},-4\right)$或$\left(\frac{1}{2},4\right)。$
解:(2) $OP'+QP'$有最小值,最小值為$\sqrt{85}。$
過點$Q$作平行于$x$軸的直線$a,$交$y$軸于點$B,$過點$P$作$PC\perp$直線$a$于點$C,$交$x$軸于點$A,$過點$P'$作$P'D\perp$直線$a$于點$D,$連接$PQ,$如圖④,則$OB = 2,$$BQ = 1,$$PA = 2,$$AC = OB = 2,$所以$PC = PA + AC = 4。$
因為$\angle CPQ+\angle CQP = 90^{\circ},$$\angle CQP+\angle P'QD = 90^{\circ},$所以$\angle CPQ=\angle DQP'。$
在$\triangle PCQ$和$\triangle QDP'$中,
$\begin{cases}\angle PCQ=\angle QDP' = 90^{\circ}\\\angle CPQ=\angle DQP'\\PQ = QP'\end{cases},$所以$\triangle PCQ\cong\triangle QDP'(AAS),$所以$PC = QD = 4,$所以$BD = BQ + QD = 1 + 4 = 5,$所以點$P'$的橫坐標為$5,$即點$P'$在直線$x = 5$上。
作點$O$關(guān)于直線$x = 5$的對稱點$O',$連接$O'Q,$交直線$x = 5$于點$P'',$則$P''O = P''O'。$
當點$P'$與點$P''$重合,且$Q,$$P'',$$O'$在一條直線上時,$OP'+QP'$的值最小,最小值為$O'Q。$
過點$Q$作$QE\perp OO'$于點$E,$則$OE = 1,$$QE = 2,$所以$O'E = OO'-OE = 10 - 1 = 9,$所以$O'Q=\sqrt{QE^{2}+O'E^{2}}=\sqrt{2^{2}+9^{2}}=\sqrt{85},$所以$OP'+QP'$有最小值,最小值為$\sqrt{85}。$