解：
(1)由題意，$\begin{cases}8a + 7b = 670\\4a + 5b = 410\end{cases}，$
由$4a + 5b = 410$兩邊同時(shí)乘以$2$得$8a+10b = 820，$
用$8a+10b = 820$減去$8a + 7b = 670$得：
$(8a+10b)-(8a + 7b)=820 - 670，$
$8a+10b - 8a - 7b = 150，$
$3b = 150，$
解得$b = 50，$
把$b = 50$代入$4a + 5b = 410$得$4a+5×50 = 410，$
$4a+250 = 410，$
$4a=410 - 250，$
$4a = 160，$
解得$a = 40。$
(2)$\because$購(gòu)買$A$種型號(hào)吉祥物$x$個(gè)，$\therefore$購(gòu)買$B$種型號(hào)吉祥物$(90 - x)$個(gè)。
$\because$購(gòu)買$A$種型號(hào)吉祥物的數(shù)量$x$（單位：個(gè)）不少于$B$種型號(hào)吉祥物數(shù)量的$\frac{4}{3}，$$\therefore x\geqslant\frac{4}{3}(90 - x)，$
$3x\geqslant4(90 - x)，$
$3x\geqslant360 - 4x，$
$3x + 4x\geqslant360，$
$7x\geqslant360，$
解得$x\geqslant\frac{360}{7}。$
又$\because$購(gòu)買$A$種型號(hào)吉祥物的數(shù)量不超過$B$種型號(hào)吉祥物數(shù)量的$2$倍，$\therefore x\leqslant2(90 - x)，$
$x\leqslant180 - 2x，$
$x + 2x\leqslant180，$
$3x\leqslant180，$
解得$x\leqslant60，$$\therefore\frac{360}{7}\leqslant x\leqslant60。$
由題知，$y=(40 - 35)x+(50 - 42)(90 - x)=5x + 8(90 - x)=5x+720 - 8x=-3x + 720，$
$\because -3\lt0，$$\therefore y$隨$x$的增大而減小，$\therefore$當(dāng)$x = 52$時(shí)，$y$最大，最大值為$y=-3×52 + 720=-156 + 720 = 564。$
