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第107頁

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A
$(3,240^{\circ})$ 
$(6077,2)$
$(4,6)$
$(1,6)$
解: (1) 建立平面直角坐標系并描出$A，$$B$兩村的位置，如圖所示。$A(0,1)，$$B(4,4)。$
(2) 如圖，作點$A$關(guān)于$x$軸的對稱點$A'，$連接$A'B$交$x$軸于點$P，$則點$P$即為水泵站的位置（兩點之間線段最短）。$PA + PB = PA' + PB = A'B，$$A'B$即為所用水管的最短長度。過$B，$$A'$分別作$x$軸、$y$軸的垂線交于點$E。$$\because$點$A$的坐標為$(0,1)，$點$B$的坐標為$(4,4)，$$\therefore$點$A'$的坐標為$(0,-1)。$$\because A'E = 4，$$BE = 5，$$\therefore$在$Rt\triangle A'BE$中，$A'B=\sqrt{4^{2}+5^{2}}=\sqrt{41}。$故所用水管的最短長度為$\sqrt{41}$千米。
解: (2) 由題意可得，在移動過程中，當點$P$到$x$軸的距離為$4$個單位長度時，存在兩種情況。
第一種情況，當點$P$在$OC$上時，點$P$移動的時間是$4\div2 = 2$（秒）；
第二種情況，當點$P$在$BA$上時，點$P$移動的時間是$(6 + 4 + 2)\div2 = 6$（秒）。故在移動過程中，當點$P$到$x$軸的距離為$4$個單位長度時，點$P$移動的時間是$2$秒或$6$秒。
(3) 如圖①所示，$\because\triangle OBP$的面積為$10，$$\therefore\frac{1}{2}BC\cdot OP = 10，$即$\frac{1}{2}\times4\times OP = 10，$解得$OP = 5，$$\therefore$此時點$P$移動的時間是$\frac{5}{2}$秒。
如圖②所示，$\because\triangle OBP$的面積為$10，$$\therefore\frac{1}{2}OC\cdot PB = 10，$即$\frac{1}{2}\times6\times PB = 10，$解得$BP=\frac{10}{3}，$$\therefore CP=\frac{2}{3}，$$\therefore$此時點$P$移動的時間是$\frac{10}{3}$秒。
如圖③所示，$\because\triangle OBP$的面積為$10，$$\therefore\frac{1}{2}BC\cdot BP = 10，$即$\frac{1}{2}\times4\times BP = 10，$解得$BP = 5，$$\therefore$此時點$P$移動的時間是$\frac{15}{2}$秒。
如圖④所示，$\because\triangle OBP$的面積為$10，$$\therefore\frac{1}{2}AB\cdot OP = 10，$即$\frac{1}{2}\times6\times OP = 10，$解得$OP=\frac{10}{3}，$$\therefore$此時點$P$移動的時間是$\frac{25}{3}$秒。
綜上所述，點$P$移動的時間是$\frac{5}{2}$秒或$\frac{10}{3}$秒或$\frac{15}{2}$秒或$\frac{25}{3}$秒。
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