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第120頁

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證明?$：(1)$?因?yàn)?$AB$?是半圓?$O$?的直徑，
所以?$∠ACB = 90°，$?
在?$Rt\triangle ACB$?中，?$∠A+∠ABC = 90°。$?
?$ $?又因?yàn)?$∠D=∠ABC，$?
所以?$∠D+∠A = 90°。$?
?$ $?在?$\triangle ABD$?中，?$∠ABD = 180°-(∠D+∠A)=90°。$?
?$ $?因?yàn)?$AB$?是半圓?$O$?的直徑，
所以?$BD$?是半圓?$O$?的切線。
?$(2)$?連接?$OC。$?
?$ $?因?yàn)?$\overset {\frown }{AC}=\overset {\frown }{AC}，$??$∠ABC = 60°，$?
所以?$∠AOC = 2∠ABC = 120°。$?
?$ $?因?yàn)?$OC = OB，$??$∠ABC = 60°，$?
所以?$\triangle BOC$?是等邊三角形，
所以?$OC = BC = 3。$?
?$ $?根據(jù)弧長公式?$l=\frac {n\pi r}{180}($?其中?$n$?是圓心角度數(shù)，?$r$?是半徑?$)，$?可得?$\overset {\frown }{AC}$?的長為?$\frac {120\pi ×3}{180}=2\pi 。$?
證明：如圖，連接$OE$、$OF。$
因?yàn)?AB\perp CD，$
所以$∠AOC = 90°。$
因?yàn)?OA = AE = OE，$
所以$\triangle AOE$為等邊三角形，
所以$∠AOE = 60°。$
因?yàn)?\frac{360°}{60°} = 6，$
所以弦$AE$是$\odot O$的內(nèi)接正六邊形的一邊。
因?yàn)?∠AOE = 60°，$
所以$∠EOC = ∠AOC-∠AOE=90°-60°=30°。$
因?yàn)?\frac{360°}{30°} = 12，$
所以弦$CE$是$\odot O$的內(nèi)接正十二邊形的一邊。
易知$∠AOF = 60°，$
所以$∠EOF = ∠AOF+∠AOE = 60°×2 = 120°。$
因?yàn)?\frac{360°}{120°} = 3，$
所以弦$EF$是$\odot O$的內(nèi)接正三角形的一邊。

證明：(1)如圖，連接$BG。$
因?yàn)?AB = BC = 2AD = 2，$
所以$AD = AE = 1，$$BE = BF = CF = 1。$
所以$AD = BF。$
因?yàn)?AD// BC，$即$AD// BF，$
所以四邊形$ABFD$是平行四邊形，
所以$∠BFD=∠DAB = 60°。$
因?yàn)?BG = BF，$
所以$\triangle BFG$是等邊三角形，
所以$GF = BF，$
所以$GF = BF = FC。$
所以點(diǎn)$G$在以$BC$為直徑的圓上，
所以$∠BGC = 90°。$
因?yàn)?BG$為$\overset{\frown}{EF}$所在圓的半徑，
所以$CG$為$\overset{\frown}{EF}$所在圓的切線。
(2)如圖，過點(diǎn)$D$作$DH\perp AB$于點(diǎn)$H。$
因?yàn)樵?Rt\triangle AHD$中，$∠DAB = 60°，$
所以$∠ADH = 30°。$
易得$AH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}，$$DH = \sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\sqrt{1^{2}-(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}。$
因?yàn)樗倪呅?ABFD$是平行四邊形，
所以$DF = AB = 2，$$∠ABF = 180°-∠A = 120°。$
因?yàn)?\triangle BFG$是等邊三角形，
所以$∠GBF = 60°，$$GF = BF = BG = 1。$
所以$∠EBG=∠ABF-∠GBF = 60°，$$DG = DF - GF = 1。$
$S_{涂色部分}=S_{梯形ABGD}-S_{扇形ADE}-S_{扇形BEG}$
$=\frac{1}{2}×(1 + 2)×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{60\pi×1^{2}}{360}-\frac{60\pi×1^{2}}{360}$
$=\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{3}。$
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