證明：?$(1)$?連接?$OC。$?
?$ $?因為?$OC = OB，$?所以?$∠B=∠BCO。$?
?$ $?因為?$∠AOC$?是?$\triangle BOC$?的外角，
所以?$∠AOC=∠B+∠BCO = 2∠B。$?
?$ $?又因為?$∠FCD = 2∠B，$?
所以?$∠FCD=∠AOC。$?
?$ $?因為?$AB\perp CD，$?
所以?$∠CEO = 90°，$?
在?$Rt\triangle CEO$?中，?$∠AOC+∠OCD = 90°，$?
所以?$∠FCD+∠OCD = 90°，$?即?$∠OCF = 90°，$??$OC\perp CF。$?
?$ $?因為?$OC$?是?$\odot O$?的半徑，
所以?$CF $?是?$\odot O$?的切線。
?$(2)$?因為?$AB$?是?$\odot O$?的直徑，?$CD$?是?$\odot O$?的弦，且?$AB\perp CD，$?
所以?$CE=\frac {1}{2}CD = 6。$?
?$ $?因為?$AB = 20，$?
所以?$OC = 10。$?
?$ $?在?$Rt\triangle CEO$?中，
?$OE=\sqrt {OC^2-CE^2}=\sqrt {10^2-6^2}=\sqrt {100 - 36}=\sqrt {64}=8。$?
?$ $?因為?$OC\perp CF，$?
在?$Rt\triangle FCO$?中，?$CF^2=OF^2-OC^2=(EF + 8)^2-100。$?
?$ $?在?$Rt\triangle CEF_{中}，$??$CF^2=EF^2+CE^2=EF^2+36。$?
?$ $?所以?$(EF + 8)^2-100=EF^2+36，$?
?$ EF^2+16EF + 64-100=EF^2+36，$?
?$ 16EF=36 + 100 - 64，$?
?$ 16EF = 72，$?
?$ $?解得?$EF=\frac {9}{2}，$?
所以?$EF $?的長為?$\frac {9}{2}。$?
