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$\frac{5\sqrt{2}}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

①②④

解：如圖，連接$OA$、$OB$、$OF，$設(shè)$OB$交$AF$于點(diǎn)$G。$

因?yàn)?AB\perp CD，$$CD$為$\odot O$的直徑，

所以$AE = BE=\frac{1}{2}AB = 3。$

設(shè)$\odot O$的半徑為$r，$則$OE = r - 1，$$OA = r。$

在$Rt\triangle OAE$中，由勾股定理，得$3^{2}+(r - 1)^{2}=r^{2}，$

即$9+r^{2}-2r + 1=r^{2}，$

$ - 2r=-10，$

解得$r = 5。$

因?yàn)?\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BF}，$所以$∠AOB=∠FOB。$

又因?yàn)?AO = FO，$所以$OB\perp AF，$$AF = 2AG。$

設(shè)$OG = t，$則$BG = 5 - t。$

在$Rt\triangle AGO$中，$AG^{2}=5^{2}-t^{2}；$在$Rt\triangle AGB$中，$AG^{2}=6^{2}-(5 - t)^{2}。$

所以$5^{2}-t^{2}=6^{2}-(5 - t)^{2}，$

$25 - t^{2}=36-(25 - 10t + t^{2})，$

$25 - t^{2}=36 - 25 + 10t - t^{2}，$

$10t = 14，$

解得$t=\frac{7}{5}。$

所以$AG=\sqrt{5^{2}-(\frac{7}{5})^{2}}=\sqrt{25-\frac{49}{25}}=\sqrt{\frac{625 - 49}{25}}=\sqrt{\frac{576}{25}}=\frac{24}{5}，$

$AF = 2AG=\frac{48}{5}。$

證明：(1)因?yàn)?AB$為$\odot O$的直徑，

所以$∠ACB = 90°，$

所以$AC\perp BD。$

又因?yàn)?DC = CB，$

所以$AD = AB，$

所以$∠B=∠D。$

(2)設(shè)$BC = x，$則$AC = x - 2。$

在$Rt\triangle ABC$中，$AB = 4，$$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}，$

所以$(x - 2)^{2}+x^{2}=4^{2}，$

$x^{2}-4x + 4+x^{2}=16，$

$2x^{2}-4x - 12 = 0，$

$x^{2}-2x - 6 = 0，$

由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$（其中$a = 1，$$b=-2，$$c = - 6$）得：

$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4×1×(-6)}}{2×1}=\frac{2\pm\sqrt{4 + 24}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{28}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{7}}{2}=1\pm\sqrt{7}，$

$x_{1}=1+\sqrt{7}，$$x_{2}=1-\sqrt{7}$（不合題意，舍去），

所以$BC = 1+\sqrt{7}。$

因?yàn)?\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}，$

所以$∠B=∠E。$

又因?yàn)?∠B=∠D，$

所以$∠D=∠E，$

所以$CD = CE。$

因?yàn)?CD = BC，$

所以$CE = BC = 1+\sqrt{7}。$

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