解：?$(2)$?在?$PC$?上截取?$PD=AP，$?連接?$AD，$?如圖?$1$?：
∵?$∠APC=60°，$?
∴?$△APD$?是等邊三角形，
∴?$AD=AP=PD，$??$∠ADP=60°，$??$∠ADC=120°.$?
∵?$∠APB=∠APC+∠BPC=120°，$?
∴?$∠ADC=∠APB.$?
在?$△APB$?和?$△ADC$?中，
?$\begin {cases}{∠APB=∠ADC}\\{∠ABP=∠ACD}\\{AP=AD}\end {cases}$?
∴?$△APB≌△ADC，$?
∴?$BP=CD.$?
又∵?$PD=AP，$?
∴?$PC=PA+PB.$?
?$(3)$?當點?$P $?為?$\widehat {AB}$?的中點時，四邊形?$APBC$?的面積最大?$.$?
理由如下：
如圖?$2，$?過點?$P_{作}PE⊥AB，$?垂足為?$E，$?過點?$C$?作?$CF⊥AB，$?垂足為?$F.$?
∵?$S_{△APB}=\frac {1}{2}AB·PE，$??$S_{△ABC}=\frac {1}{2}AB·CF，$?
∴?$S_{四邊形APBC}=\frac {1}{2}AB·(PE+CF).$?
當點?$P $?為?$\widehat {AB}$?的中點時，?$PE+CF=PC，$??$PC$?為?$⊙O$?的直徑，
∴此時四邊形?$APBC$?的面積最大?$.$?
∵?$⊙O$?的半徑為?$1，$?
∴其內接正三角形的邊長?$AB=\sqrt {3}，$?
∴?$S_{四邊形APBC}=\frac {1}{2}×2×\sqrt {3}=\sqrt {3}.$?
