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$1＜d＜3$

解：?$(1)$?在?$\text{Rt}\triangle ABC$?中，?$∠C = 90°，$??$BC = 4\text{ cm}，$??$AC = 3\text{ cm}，$?

根據(jù)勾股定理?$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5\text{ cm}.$?

?$ $?設(shè)點?$C$?到?$AB$?的距離為?$h，$?根據(jù)三角形面積公式?$S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2}AC·BC=\frac {1}{2}AB·h，$?

即?$\frac {1}{2}×3×4=\frac {1}{2}×5×h，$?解得?$h = 2.4\text{ cm}.$?

?$ $?若邊?$AB$?與?$\odot C$?沒有公共點，則?$0\text{ cm}＜r＜2.4\text{ cm}$?或?$r＞4\text{ cm}.$?

?$(2)$?若邊?$AB$?與?$\odot C$?有兩個公共點，則?$2.4\text{ cm}＜r\leqslant3\text{ cm}.$?

?$(3)$?若邊?$AB$?與?$\odot C$?只有一個公共點，則?$r = 2.4\text{ cm}$?或?$3\text{ cm}＜r\leqslant4\text{ cm}.$?

解：?$(1)$?因為點?$A$?的坐標(biāo)為?$(4，3)，$??$\odot A$?的半徑為?$2，$?

過點?$A$?作直線?$l// x$?軸，點?$P $?在直線?$l$?上運動，

當(dāng)點?$P $?在?$\odot A$?上時，其縱坐標(biāo)為?$3，$?橫坐標(biāo)為?$4 - 2 = 2$?或?$4 + 2 = 6，$?

所以點?$P $?的坐標(biāo)為?$(2，3)$?或?$(6，3).$?

?$ (2)$?連接?$OA、$??$OP，$?過點?$A$?作?$AQ\perp OP，$?垂足為?$Q. $?

根據(jù)題意，得?$PA = 12 - 4 = 8，$??$OB = 3，$??$PO=\sqrt {12^2+3^2} = 3\sqrt {17}.$?

∵?$S_{\triangle PAO}=\frac {1}{2}PA·OB=\frac {1}{2}PO·AQ，$?

即?$\frac {1}{2}×8×3=\frac {1}{2}×3\sqrt {17}·AQ，$?

∴?$AQ=\frac {8\sqrt {17}}{17}.$?

∵?$\frac {8\sqrt {17}}{17}＜2，$?

∴直線?$OP $?與?$\odot A$?相交?$.$?

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