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電子課本網 第18頁

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解:由表格可知,當$x = 1$時,$x^{2}+3x - 5=-1\lt0;$當$x = 2$時,$x^{2}+3x - 5 = 5\gt0$
所以方程$x^{2}+3x - 5 = 0$的一個正數解介于整數$1$和$2$之間,即$a = 1,$$b = 2$
則$a + b=1 + 2 = 3$
解: (1)對于一元二次方程$x^{2}-2mx + m^{2}-1 = 0,$其中$a = 1,$$b=-2m,$$c=m^{2}-1$
$\Delta=b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4\times1\times(m^{2}-1)=4m^{2}-4m^{2}+4 = 4\gt0$
所以方程有兩個不相等的實數根。
(2)解方程$x^{2}-2mx + m^{2}-1 = 0$
因式分解得$(x - m + 1)(x - m - 1)=0$
則$x - m + 1 = 0$或$x - m - 1 = 0$
解得$x_1=m - 1,$$x_2=m + 1$
①當$AB = 5$為腰長時,若$m - 1 = 5,$則$m = 6,$此時三邊為$5,$$5,$$7,$周長為$5 + 5+7 = 17;$若$m + 1 = 5,$則$m = 4,$此時三邊為$5,$$5,$$3,$周長為$5 + 5+3 = 13。$
②當$AB = 5$為底邊時,$m - 1 = m + 1$不成立。
所以$\triangle ABC$的周長為$13$或$17。$
解:(1)在$Rt\triangle ABC$中,$AC = 3 - 1 = 2,$$BC = 1,$根據勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$
因為以$A$為圓心,$AB$為半徑畫圓,交數軸于$D$、$E$兩點
所以$AD = AE=\sqrt{5}$
則$m = 1+\sqrt{5},$$n = 1-\sqrt{5}$
(2)因為$x = m = 1+\sqrt{5}$是一元二次方程$x^{2}+bx - 4 = 0$的一個根
把$x = 1+\sqrt{5}$代入方程得$(1+\sqrt{5})^{2}+b(1+\sqrt{5})-4 = 0$
$1 + 2\sqrt{5}+5+b + b\sqrt{5}-4 = 0$
$(b + 2)\sqrt{5}+b + 2 = 0$
$(b + 2)(\sqrt{5}+1)=0$
解得$b=-2$
(3)琮琮說得不對。
把$x = n = 1-\sqrt{5}$代入方程$x^{2}+bx - 4 = 0$的左邊得:
$(1-\sqrt{5})^{2}-2(1-\sqrt{5})-4=1 - 2\sqrt{5}+5-2 + 2\sqrt{5}-4 = 0$
所以$x = n$是方程$x^{2}+bx - 4 = 0$的根。