解:(1)在$Rt\triangle ABC$中,$AC = 3 - 1 = 2,$$BC = 1,$根據勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$
因為以$A$為圓心,$AB$為半徑畫圓,交數軸于$D$、$E$兩點
所以$AD = AE=\sqrt{5}$
則$m = 1+\sqrt{5},$$n = 1-\sqrt{5}$
(2)因為$x = m = 1+\sqrt{5}$是一元二次方程$x^{2}+bx - 4 = 0$的一個根
把$x = 1+\sqrt{5}$代入方程得$(1+\sqrt{5})^{2}+b(1+\sqrt{5})-4 = 0$
$1 + 2\sqrt{5}+5+b + b\sqrt{5}-4 = 0$
$(b + 2)\sqrt{5}+b + 2 = 0$
$(b + 2)(\sqrt{5}+1)=0$
解得$b=-2$
(3)琮琮說得不對。
把$x = n = 1-\sqrt{5}$代入方程$x^{2}+bx - 4 = 0$的左邊得:
$(1-\sqrt{5})^{2}-2(1-\sqrt{5})-4=1 - 2\sqrt{5}+5-2 + 2\sqrt{5}-4 = 0$
所以$x = n$是方程$x^{2}+bx - 4 = 0$的根。