解：
(1)
$\begin{aligned}A - B&=a^{2}+2b-(2b - 1)\\&=a^{2}+2b - 2b + 1\\&=a^{2}+1\end{aligned}$
因?yàn)?a^{2}\geq0，$所以$a^{2}+1＞0，$即$A - B＞0。$
(2)
$\begin{aligned}\frac{a + 1}{b + 1}-\frac{a}&=\frac{b(a + 1)-a(b + 1)}{b(b + 1)}\\&=\frac{ab + b - ab - a}{b(b + 1)}\\&=\frac{b - a}{b(b + 1)}\end{aligned}$
因?yàn)?b＞a＞0，$所以$b - a＞0，$$b(b + 1)＞0，$所以$\frac{b - a}{b(b + 1)}＞0，$即$\frac{a + 1}{b + 1}＞\frac{a}，$分式$\frac{a + 1}{b + 1}$的值增大了。
(3)
$\begin{aligned}\frac{a + c}{b + c}-\frac{a}&=\frac{b(a + c)-a(b + c)}{b(b + c)}\\&=\frac{ab+bc - ab - ac}{b(b + c)}\\&=\frac{c(b - a)}{b(b + c)}\end{aligned}$
因?yàn)?b＞a＞0，$當(dāng)$c＞0$或$c＜-b$時(shí)，$\frac{c(b - a)}{b(b + c)}＞0，$即$\frac{a + c}{b + c}＞\frac{a}；$當(dāng)$-b＜c＜0$時(shí)，$\frac{c(b - a)}{b(b + c)}＜0，$即$\frac{a + c}{b + c}＜\frac{a}。$
