解：?$(1)$?由題意，得?$M=(x+2)(x+9)-(x+4)(x+7) $?
?$=x2+11x+18-(x2+11x+28)$?
?$=-10$?
所以該組平衡數(shù)的平衡因子?$M=-10$?
?$(2)$?因?yàn)?$a$?，?$b$?，?$c$?，?$d$?是一組平衡數(shù)，?$a=4$?，?$d=3$?
所以?$(x+4)(x+3)-(x+b)(x+c)=M$?
所以?$M=x2+7x+12-[x2+(b+c)x+bc] $?
?$=(7-b-c)x+12-bc$?
因?yàn)?$M$?是常數(shù)，所以?$7-b-c=0$?
所以?$b+c=7$?
所以?$b$?，?$c $?的一組值可以是?$b=1$?，?$c=6$?
?$(3)$?當(dāng)?$a+d=b+c $?時(shí)，它們是一組平衡數(shù)，理由如下:
因?yàn)?$a+d=b+c$?，
所以?$(x+a)(x+d)-(x+b) (x+c)$?
?$=x2+(a+d)x+ad-[x2+(b+c)x+bc]$?
?$=[(a+d)-(b+c)]x+ad-bc$?
?$=ad-bd$?
因?yàn)?$a$?，?$b$?，?$c$?，?$d$?是常數(shù)
所以?$ad-bd$?是常數(shù)
所以?$a$?，?$b$?，?$c$?，?$d$?是一組平衡數(shù)
