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$? 解：∵AD//BC ?$

$? ∵四邊形ABCD是矩形 ?$

$? ∵∠BOM=∠DON ?$

$? ∴ND=BM?$

$? 同理可證，△AON≌△COM ?$

$? ∴AN+ND=BM+MC?$

$? ∵AB=CD ?$

$? ∵AB=CD\ $

$∴S_{梯形ABMN}=S_{梯形CDNM}?$

$解：??MN??滿足，??MN⊥AC??$

A

B

30

$證明：??(1) ∵??在?? ?A B C D ??中，?? O ??為對角線?? B D ??的中點$

$?? ∴B O= D O，???? \angle E D O=\angle F B O ??$

$ 又?? ∵\angle E O D=\angle F O B??$

$?? ∴\triangle D O E ≌ \triangle B O F (\mathrm {ASA}) ??$

$?? (2) ??當?? \angle D O E=90° ??時，四邊形?? B E D F ??為菱形，理由： $

$?? ∵\triangle D O E ≌ \triangle B O F??$

$?? ∴B F=D E ??$

$ 又?? ∵B F / / D E ??$

$ ∴四邊形?? B E D F ??是平行四邊形$

$?? ∵B O=D O，???? \angle E O D=90°??$

$?? ∴E B=D E ??$

$ ∴四邊形?? B E D F ??為菱形$

$解：??∵AB=CD=AD'，????∠BAM+∠MAN=90°，????∠MAN+∠NAD'=90°??$

$?? ∴∠BAM=∠NAD'??$

$又??∵∠B=∠D'=90°??$

$?? ∴△ABM≌△AD'N ??$

$∵重疊部分是??△AMN，??不重疊部分是??∠ABM??和??△AD'N??$

$?? ∴\frac {S_{△ABM}+S_{△AD'N}}{S_{△AMN}}=\frac 12，??即??\frac {2×\frac 12AB ·BM}{\frac 12AB ·AN}=\frac 12??$

$??∴\frac {BM}{MC}=\frac 14?$

B

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