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$證明：?(1)?因?yàn)?BE=2DE，??EF=BE?$

$所以?EF=2DE?$

$因?yàn)?D、??E?分別是?AB、??AC?的中點(diǎn)$

$所以?BC=2DE?且?DE//BC?$

$所以?EF=BC?$

$又因?yàn)?EF//BC?$

$所以四邊形?BCFE?是平行四邊形$

$又因?yàn)?EF=BE?$

$所以四邊形?BCFE?是菱形$

$?(2)?過點(diǎn)?E?作?EH⊥BC?于點(diǎn)?H?$

$因?yàn)樗倪呅?BCFE?是菱形$

$所以?∠BCE=\frac {1}{2}∠BCF = 60°，?? BE= BC?$

$所以?△BCE?是等邊三角形$

$所以?BE=CE=BC=2?$

$因?yàn)?EH⊥BC?$

$所以?CH =\frac {1}{2}BC=1?$

$所以?EH=\sqrt {CE2-CH2}=\sqrt {3}?$

$所以菱形?BCFE?的面積為?2×\sqrt {3}= 2\sqrt {3}?$

$解:(1)\because 在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，$

$\therefore BC=AD=16，AB=CD=8，$

$由已知可得，BQ=DP=t，AP=CQ=16-t，$

$在矩形ABCD中，\angle B=90^{\circ}，AD∥BC，$

$當(dāng)BQ=AP時，四邊形ABQP為矩形，$

$\therefore t=16-t，$

$解得：t=8，$

$\therefore 當(dāng)t=8s時，四邊形ABQP為矩形.$

$(2)四邊形AQCP為菱形；理由如下：$

$\because t=6，$

$\therefore BQ=6，DP=6，$

$\therefore CQ=16-6=10，AP=16-6=10，$

$\therefore AP=CQ,AP∥CQ，$

$\therefore 四邊形AQCP為平行四邊形，$

$在Rt\triangle ABQ中，AQ=\sqrt{A{B}^{2}+B{Q}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}=10，$

$\therefore AQ=CQ，$

$\therefore 平行四邊形AQCP為菱形，$

$\therefore 當(dāng)t=6時，四邊形AQCP為菱形；$

$(3)連接AC、BD，AC、BC相交于點(diǎn)E， $

$則整個運(yùn)動當(dāng)中，線段PQ掃過的面積是：\triangle AED的面積+\triangle BEC的面積，$

$\because \triangle AED的面積+\triangle BEC的面積=\frac{1}{2}矩形ABCD的面積，$

$\therefore 整個運(yùn)動當(dāng)中，線段PQ掃過的面積=\frac{1}{2}矩形ABCD的面積$

$=\frac{1}{2}\times AB\times BC$

$=\frac{1}{2}\times 8\times 16$

$=64$

2:1

$證明?： (1)?因?yàn)樗倪呅?ABCD?是矩形$

$所以?AB=DC，??∠A=∠D=90°?$

$因?yàn)?M?為?AD?中點(diǎn)$

$所以?AM=DM?$

$在?△ABM?和?△DCM?$

$?\begin {cases}{AM=DM }\\{∠A=∠D} \\{AB=DC} \end {cases}?$

$所以?△ABM≌△DCM (\mathrm {SAS})?$

$?(2)?四邊形?MENF ?是菱形$

$因?yàn)?N、?? E、??F{分別} ?是?BC、??BM、??CM?的中點(diǎn)$

$所以?NE//CM，??NE=\frac {1}{2}CM，??MF=\frac {1}{2}CM?$

$所以?NE=FM?$

$所以四邊形?MENF?是平行四邊形$

$因?yàn)?△ABM≌△DCM?$

$所以?BM=CM?$

$因?yàn)?E、??F{分別} ?是?BM、??CM?的中點(diǎn)$

$所以?ME=MF?$

$所以平行四邊形?MENF?是菱形$

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