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$解：∵四邊形??ABCD??是正方形$

$ ∴??AB=BC=CD，????∠EBC=∠FCD=90°??$

$ ∵??CE⊥DF ??$

$∴∠CFG+∠FCG=∠DCG+∠FCG=90°$

$∴∠CFG=∠DCG$

$又∵BC=CD，∠B=∠DCF=90°$

$∴??△CEB≌△DFC??(\mathrm {AAS}) $

$ ∴??CE=DF??$

正方形

$?\frac 12a^2?$

證明：過點??$ E $??作??$ E G \perp A B ，$?? 垂足為??$ G$??

∵??$E D \perp B C，$????$ E F \perp A C ，$????$ E $??是兩銳角平分線的交點

∴??$E F=E G=E D$??

∵??$A C \perp B C，$????$ E D \perp B C，$????$ E F \perp A C$??

∴四邊形??$ C D E F $??為矩形

又 ∵??$E F=E D$??

∴矩形??$ C D E F $??為正方形

解：連接??$EF、$????$FG、$????$GH、$????$HE$??

∵四邊形??$ABCD$??是正方形

∴??$AB= BC= CD= DA，$????$∠A=∠B=∠C= ∠D= 90°$??

∵??$AE=BF=CG=DH$??

∴??$AH=BE=CF=DG$??

∴??$△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG$??

∴??$EH = FE= GF= HG，$????$∠DGH = ∠CFG$??

∵??$∠CGF=∠CFG = 90°$??

∴??$∠DGH +∠CGF= 90°$??

∴??$∠HGF= 90°$??

∴四邊形??$EFGH$??是正方形

∴??$EG = FH，$????$EG⊥FH$??

證明：連接??$BP$??

∵四邊形??$ABCD$??是正方形

∴??$∠B=90°，$????$BC=CD$??

∵??$PE⊥AB，$????$PF⊥BC$??

∴四邊形??$PEBF $??是矩形

∴??$PB=EF($??矩形對角線相等)

在??$△PCB$??和??$△PCD$??中

??$ \begin{cases}CD=CB\\∠DCP=∠BCP\\PC=PC\end{cases}$??

∴??$△PCB≌△PCD(\mathrm {SAS})$??

∴??$PB=PD$??

∴??$PD=PB=EF.$??

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