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$解：? \angle A E C=\angle A F C ，? 理由是： $

$ 連接? A C ?交? B D ?于點(diǎn)? O?$

$ ∵四邊形? A B C D ?是平行四邊形$

$ ∴?O A=O C，?? O B=O D ?$

$ 又 ∵?D E=B F?$

$ ∴?O E=O F ?$

$ ∴四邊形? A F C E ?是平行四邊形$

$ ∴?\angle A E C=\angle A F C ?$

$證明： ∵四邊形? A B C D ?是平行四邊形$

$ ∴?O D=O B，?? O A=O C，?? A B / / C D?$

$ ∴?\angle D F O=\angle B E O，?? \angle F D O=\angle E B O?$

$ ∴?\triangle F D O ≌ \triangle E B O?$

$ ∴?O F=O E?$

$ ∴四邊形? A E C F ?是平行四邊形 $

$解：? A F=B E，?? A F / / B E ，? 理由是：$

$ 連接? A E 、?? B F?$

$ ∵?A C / / B D?$

$ ∴?\angle C=\angle D?$

$ 在? \triangle A O C ?和? \triangle B O D ?中$

$?\begin{cases}{∠C=∠D}\\{∠COA=∠DOB}\\{AO=BO}\end{cases}?$

$ ∴?\triangle A O C ≌ \triangle B O D (\mathrm {AAS})?$

$ ∴?C O=D O ?$

$ ∵?E 、?? F ?分別是? O C 、?? O D ?的中點(diǎn)$

$ ∴?E O=\frac 12 \mathrm C O，?? F O=\frac 12 \mathrm D O?$

$ ∴?E O=F O?$

$ 又 ∵?A O=B O?$

$ ∴四邊形? A F B E ?是平行四邊形$

$ ∴?A F=B E，?? A F / / B E ?$

解：假設(shè)等腰三角形的底角不是銳角，則為直角或鈍角

$ 根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等，則兩個(gè)底角的和大于或等于? 180° ?$

$ 則該三角形的三個(gè)內(nèi)角和一定大于? 180° ?$

這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，故假設(shè)不成立

∴等腰三角形的底角是銳角

$證明：∵四邊形?ABCD?是平行四邊形$

$ ∴?AD=BC?$

$ ∵?△ADE?和?△BCF?是等邊三角形$

$ ∴?AD=DE，??BC=BF?$

$ ∴?DE=BF?$

$ ∵?DE//BF?$

$ ∴?∠DEP=∠BFP?$

$ 在?△PDE?和?△PBF ?中$

$? \begin{cases}∠DEP=∠BFP\\∠DPE=∠BPF\\DE=BF\end{cases}?$

$ ∴?△PDE≌△PBF(\mathrm {AAS})?$

$ ∴?EP=FP?$

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