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$解:(3)?∵?△AEF∽△BCA? $

$∴?\frac {AF}{AB}=\frac {EF}{AC}?$

$∵?AF=4，??CF=2?$

$∴?AC=6?$

$∵?AB=\frac 12EF?$

$∴?\frac 4{\frac 12EF}=\frac {EF}6?$

$∴?EF=4\sqrt 3?$

$在?Rt△AEF ?中，∵?EF=4\sqrt 3，??AF=4?$

$∴?AE=\sqrt {EF^2-AF^2}=4\sqrt 2?$（更多請點擊查看作業(yè)精靈詳解）

$解：?(1)?∵?△PQC?的面積與四邊形?PABQ?的面積相等$

$∴?S_{△ABC}=2S_{△PQC}?$

$∵?PQ//AB?$

$∴?△ABC∽△PQC?$

$∴?\frac {CP}{AC}=\frac {\sqrt 2}2?$

$∵?AC=4?$

$∴?CP=2\sqrt 2?$

$?(2)?∵?△ABC∽△PQC?$

$∴?\frac {CP}{CQ}=\frac {AC}{BC}=\frac 43?$

$設(shè)?CP=4x，?則?CQ=3x，??PA=4-4x，??QB=3-3x?$

$∵?△PQC?的周長與四邊形?PABQ?的周長相等$

$∴?CP+CQ=PA+QB+AB?$

$∴?4x+3x=(4-4x)+(3-3x)+5?$

$解得?x=\frac 67?$

$∴?CP=4x=\frac {24}{7}$（更多請點擊查看作業(yè)精靈詳解）

$解：∵?AF//BC?$

$∴?∠F=∠E?$

$∵點?D?是?AB?的中點$

$∴?AD=BD?$

$在?△ADF ?和?△BDE?中$

$? \begin{cases}{∠F=∠E}\\{∠ADF=∠BDE}\\{AD=BD}\end{cases}?$

$∴?△ADF≌△BDE(\mathrm {AAS})?$

$∴?AF=BE?$

$設(shè)?AF=BE=x，?則?CE=BC+BE=8+x?$

$∵?∠F=∠E，??∠AGF=∠CGE?$

$∴?△AGF∽△CGE?$

$∴?\frac {AF}{CE}=\frac {GA}{CG}=\frac 13?$

$∴?\frac x{8+x}=\frac 13?$

$解得?x=4?$

$∴?AF=4?$

$解：?(1)?相切，理由如下$

$連接?BC?$

$∵?∠EAB=∠ADB?$

$∴?∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠ADB+∠BAC=∠ACB+∠BAC?$

$∵?AC?是?\odot O?的直徑$

$∴?∠ABC=90°?$

$∴?∠EAC=∠ACB+∠BAC=90°?$

$∴?AE?與?\odot O?相切$

$解:?(2)?相似，理由如下：$

$∵?△AEF?是直角三角形，點?B?是?EF?的中點$

$∴?BA=BF?$

$∴?∠BAC=∠AFE?$

$∵?∠EAF=∠ABC=90°?$

$∴?△AEF∽△BCA?$

$?解:(3)?分兩種情況$

$①過點?P?作?PM⊥AB，?垂足為點?M，?$

$要使?△PQM?為等腰直角三角形，$

$則?PM=PQ?$

$∵?△PQC∽△ABC，??PM=PQ?$

$∴?\frac {PQ}5=\frac {\frac {12}{5}-PM}{\frac {12}{5}}=\frac {\frac {12}{5}-PQ}{\frac {12}{5}}?$

$∴?PQ=\frac {60}{37}?$

$②當?∠PMQ=90°?時，$

$要使?△PQM?為等腰直角三角形，$

$則有?\frac {PQ}5=\frac {\frac {12}{5}-\frac 12PQ}{\frac {12}{5}}?$

$解得?PQ=\frac {120}{49}?$

$綜上所述，?PQ?的長為?\frac {60}{37}?或?\frac {120}{49}?$

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