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第27頁(yè)

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$解：?B?為線段?AF?的黃金分割點(diǎn)，?C?為線段?DG?的黃金分割點(diǎn)，$

$矩形?AFGD?和矩形?CBFG?都是黃金矩形，證明如下：$

$設(shè)正方形?ABCD?的邊長(zhǎng)為?a，?則?AB=BC=a?$

$∵點(diǎn)?E?是?AB?的中點(diǎn)$

$∴?BE=\frac 12AB=\frac {a}2?$

$在?Rt△BCE?中，∵?BE=\frac {a}2，??BC=a?$

$∴?CE=\sqrt {BE^2+BC^2}=\frac {\sqrt 5}2a?$

$∴?EF=\frac {\sqrt 5}2a，??AF=\frac {\sqrt 5+1}2a，??BF=\frac {\sqrt 5-1}2a?$

$∴?\frac {AB}{AF}=\frac a{\frac {\sqrt 5+1}2a}=\frac {\sqrt 5-1}2≈0.618?$

$∴點(diǎn)?B?是線段?AF?的黃金分割點(diǎn)$

$∵?\frac {DC}{DG}=\frac {AB}{AF}≈0.618?$

$∴點(diǎn)?C?是線段?DG?的黃金分割點(diǎn)$

$∵?\frac {AD}{AF}=\frac {AB}{AF}≈0.618，??\frac {BF}{BC}=\frac {\frac {\sqrt 5-1}2a}{a}=\frac {\sqrt 5-1}2≈0.618?$

$∴矩形?AFGD?和矩形?CBFG?都是黃金矩形$

$解：?(1)?如圖所示$

$?(2)\ \mathrm {CM}=AB，?理由如下：$

$連接?MA?$

$∵?∠BAC=36°，??AB=AC?$

$∴?∠ABC=∠ACB=72°?$

$∵?BF ?平分?∠ABC?$

$∴?∠l=∠2=36°?$

$∵?∠1=∠BAC?$

$∴?BF=AF，??△ABF ?為等腰三角形$

$∵?E?是?AB?中點(diǎn)$

$∴?FE⊥AB?$

$∴?ME?是?AB?的垂直平分線$

$∴?MA =MB?$

$∴?∠MAB=∠MBA=72°?$

$∵?∠BAC=36°?$

$∴?∠MAC=36°?$

$∵?∠ACB=72°?$

$∴?∠AMC=36°=∠MAC?$

$∴?CM=AC=AB?$

$解：設(shè)?BE=1，?則?BC=AB=2，??AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt 5?$

$∵?EB'=EB?$

$∴?AB''=AB'=\sqrt{5} -1?$

$∴?AB''∶AB=(\sqrt{5} -1)∶2?$

$∴?B''?是?AB?的黃金分割點(diǎn)$

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