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電子課本網(wǎng) › 第47頁

第47頁

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AC⊥BD

2.4≤x＜4

-1

$\sqrt{34}$

$\sqrt{106}$

$\sqrt {97}\ $

相等

$證明:(1)∵四邊形ABCD是矩形$

$∴AB//CD,∴∠MAB=∠NCD$

$在△ABM和△CDN中$

$\ \begin{cases}{ AB=CD }\ \\ { ∠MAB=∠NCD } \\{ AM=CN} \end{cases}$

$∴△ABM≌△CDN(SAS)$

$(2)連接EF，交AC于點(diǎn)O$

$∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC， ∠ABC=90°$

$∴AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=5$

$∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴AE=BF$

$∴四邊形ABFE是矩形，∴EF=AB=3$

$在△AEO和 △CFO中$

$\begin{cases}{ ∠EOA=∠FOC }\ \\ { ∠EAO=∠FCO } \\{ AE=CF} \end{cases}$

$∴△AEO≌△CFO(AAS),∴EO=FO,AO=CO=\frac{5}{2}$

$∴O為EF、AC的中點(diǎn)$

$∵∠EGF=90°，∴OG=\frac{1}{2}EF=\frac{3}{2}$

$∴AG=OA-OG=1或AG=OA+OG=4$

$∴AG的長(zhǎng)為1或4$

$\sqrt{11}-1 $

$解:成立，理由:$

$∵四邊形ABCD是矩形$

$∴∠BAD= ∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°$

$∴∠EAB=∠FBA=90°$

$∵過點(diǎn)P作EF⊥AD$

$分別交AD、BC的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F,∴∠E=90°$

$∴四邊形ABFE和四邊形DCFE都是矩形$

$∴AE=BF,DE=CF$

$∵PD^{2}=DE^{2}+PE^{2}=CF^{2}+PE^{2}$

$PA^{2}=AE^{2}+PE^{2}=BF^{2}+PE^{2}$

$∴PD^{2}-PA^{2}=CF^{2}-BF^{2}$

$∵PC^{2}=CF^{2}+PF^{2},PB^{2}=BF^{2}+PF^{2}$

$∴PC^{2}-PB^{2}=CF^{2}-BF^{2}$

$∴PC^{2}-PB^{2}=PD^{2}-PA^{2}$

$∴PA^{2}+PC^{2}=PB^{2}+PD^{2}$