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$解:(1)∵∠BAC=∠BCD,∠B=∠B,$

$∴△BAC∽△BCD.$

$∴\frac{BC}{BD}=\frac{BA}{BC}.$

$∵AB=4\sqrt{2},D為AB的中點(diǎn)，$

$∴BD=AD=2\sqrt{2}$

$∴\frac{BC}{2\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{BC}$

$∴BC=4(負(fù)值舍去)$

（更多請(qǐng)點(diǎn)擊查看作業(yè)精靈詳解）

$解:如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F.$

$∵i=2: \sqrt{3}，$

$∴可設(shè)BF=2k m,AF=\sqrt{3}k m$

$∵在Rt△ABF中,BF2+AF2=AB2,AB=20\sqrt{7}\ \mathrm {m}，$

$∴ (2k)2+(\sqrt{3}k)2=(20\sqrt{7})2,$

$解得k=20(負(fù)值舍去).$

$∴BF=40m.$

$延長(zhǎng)BC、DE交于點(diǎn)H.$

$∵BC是水平線，DE是鉛直線，$

$∴DH⊥CH，四邊形BFDH是矩形$

$∴DH=BF=40m.$

$∵在Rt△CDH中,tan∠DCH=\frac{DH}{CH},$

$∴ CH=\frac{DH}{tan∠DCH}=\frac{40\sqrt{3}}{3}\ \mathrm {m}\ $

$∵ 在 Rt△CEH 中，tan∠ECH=\frac{EH}{CH}，$

$∴ EH=CH . tan∠ECH=\frac{40\sqrt{3}}{3}×tan_{37}°≈\frac{40\sqrt{3}}{3}×\frac{3}{4}=10\sqrt{3}(\mathrm {m}).$

$∴DE=DH-EH=(40-10\sqrt{3})m.$

$∴古樹(shù)DE的高度為(40-10\sqrt{3})m\ $

$解:(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E,$

$連接CO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)F，連接AF.$

$∵在Rt△AED中,cos∠ADC=\frac{DE}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{4},$

$AD=2 \sqrt{2}，$

$∴DE=1.$

$∴ 由勾股定理，得AE= \sqrt{AD2-DE2}= \sqrt{7}\ $

$∵△BAC∽△BCD,$

$∴\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{CB}=\frac{4\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}.$

$設(shè)CD=x，則AC=\sqrt{2}x,CE=x-1.$

$∵在Rt∠ACE中，由勾股定理，得$

$AC2=CE2+AE2,$

$∴(\sqrt{2}x)2=(x-1)2+(\sqrt{7})2，$

$即x2+2x-8=0，$

$解得x_{1}=2,x_{2}=-4(不合題意，舍去).$

$∴CD=2,AC=2\sqrt{2}$

$∵ AC=AC,$

$∴∠AFC=∠ADC.$

$∵CF為⊙O的直徑，\ $

$∴∠CAF=90°.$

$∴ sin∠AFC=\frac{AC}{CF}=sin∠ADC=\frac{AE}{AD}$

$∴\frac{2\sqrt{2}}{CF}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}，$

$解得CF=\frac{8\sqrt{7}}{7}.$

$∴⊙O的半徑為\frac{4\sqrt{7}}{7}\ $

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