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B

$\frac{4}{5}$

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}$

$證明:(1)∵\(yùn)widehat{BE}=\widehat{BE},\ $

$∴ ∠EDB=∠EAB.\ $

$∵ ∠EAD+∠EDB=45°,$

$∴ ∠EAD+∠EAB=45°,即∠BAD=45°.$

$∵AB為⊙O的直徑，$

$∴∠ADB=90°$

$∴∠B=45°.$

$∵AB=AG，∴∠B=∠G=45°.$

$∴∠GAB=90°$

$∵AB為⊙O的直徑，$

$∴AG與⊙O相切$（更多請點(diǎn)擊查看作業(yè)精靈詳解）

$解:(2)連接CE.\ $

$∵ 在Rt△BAG中，∠B=45°,BG=4 \sqrt{5}，$

$∴AB=BG cos_{45}°=4 \sqrt{5}×\frac{\sqrt{2}}{2} =2 \sqrt{10}$

$∴ DC=2 \sqrt{10}.$

$∵ DE=DE,$

$∴ ∠DAE=∠DCE.\ $

$∵DC為⊙O的直徑，$

$∴∠DEC=90°.\ $

$∴ 在Rt△DEC中，sin∠DCE= sin∠DAE = \frac{1}{3} = \frac{DE}{DC}$

$∴ DE = DCsin∠DAE=2 \sqrt{10}×\frac{1}{3}= \frac{2\sqrt{10}}{3}\ $

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