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第71頁

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$(4,6)$
A
$解:(2)∵ 在 Rt△ADC 中，AC = 5, CD =4,\ $
$∴ AD = \sqrt{AC2-CD2}=3.$
$∵△ABC∽△ACD,$
$∴\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$
$∴\frac{AB}{5}=\frac{5}{3}$
$∴AB=\frac{25}{3}$
$∴⊙O的半徑為\frac{1}{2}AB=\frac{25}{6}$
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$證明:(1)連接OC.$
$∵ l是⊙O的切線，$
$∴OC⊥l$
$.∴∠OCD=90°.$
$∵AD⊥l,$
$∴∠ADC=90°$
$∴∠OCD+∠ADC=180°.$
$∴OC//AD.$
$∴ ∠CAD=∠ACO.$
$∵ OA=OC，$
$∴∠BAC=∠ACO.\ $
$∴ ∠CAD= ∠BAC.\ $
$∵ AB 為⊙O的直徑，$
$∴∠ACB=90°.$
$∴∠ACB=∠ADC.$
$∴△ABC∽△ACD$
$證明：(1) 因為AC=AB，$
$所以∠C=∠B.$
$因為CF= BE，$
$所以CF- EF=BE-EF，$
$即CE=BF.$
$在△ACE和△ABF 中，$
$\begin{cases}AC=AB，\\∠C=∠B \\CE=BF，\end{cases}$
$∴ △ACE≌△ABF.$
$∴ ∠CAE=∠BAF$
$證明: (2) ∵ △ACE≌△ABF，\ $
$∴ AE=AF，∠CAE=∠BAF.$
$∵ AE2=AQ×AB，AC=AB，\ $
$\ ∴ \frac {AE}{AQ} = \frac {AC}{AF} .$
$又 ∵ ∠CAE=∠FAQ\ $
$\ ∴ △ACE∽△AFQ$
$\ ∴ ∠AEC=∠AQF\ $
$∴ ∠AEF=∠BQF.\ $
$∵ AE=AF，\ $
$\ ∴ ∠AEF=∠AFE.\ $
$∴ ∠AFE=∠BQF.$
$又 ∵ ∠C=∠B，\ $
$\ ∴ △CAF∽△BFQ；\ $
$\ ∴ \frac {CF}{BQ} = \frac {AF}{FQ} ，$
$\ ∴CF×FQ=AF×BQ.$
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