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$證明:∵四邊形ABCD是矩形，$

$∴∠ADE=∠BAD=90°,BA=DC.$

$∴在Rt△DAB中，∠ABD+∠ADB=90°$

$設(shè)AE、BD交于點(diǎn)H.$

$∵AE⊥BD，$

$∴ 在Rt△DHA中,∠DAE+∠ADB=90°.\ $

$∴ ∠DAE=∠ABD.\ $

$∴ △ADE∽△BAD.$

$∴\frac{AD}{BA}=\frac{DE}{AD}$

$∴AD2=DE×BA.$

$∴AD2=DE×DC$

$解:(2)設(shè)PA=x，則AB=3PA=3x.$

$∴ PB=PA+AB=4x，OA=OC=\frac{3}{2}x.$

$∴ PO=PA+OA=\frac{5}{2}x.$

$∵∠PCO=90°，$

$∴由勾股定理，得PC=\sqrt{PO2-OC2}=2x.\ $

$∵△PAC∽△PCB，$

$∴\frac{AC}{CB}=\frac{PC}{PB}=\frac{2x}{4x}=\frac{1}{2}$

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$證明:(1)連接OC.$

$∵PC2=PA×PB,$

$∴\frac{PA}{PC}=\frac{PC}{PB}$

$∵∠P=∠P,$

$∴△PAC∽△PCB.$

$∴∠PCA=∠B.$

$∵AB是⊙O的直徑，$

$∴ ∠ACB=90°$

$∴ ∠CAB+∠B=90°.$

$∵ OA=OC,$

$∴∠CAB=∠OCA.$

$∴ ∠PCA+∠OCA=90°,即∠PCO=90°.$

$∴OC⊥PC.$

$∵OC為⊙O的半徑，$

$∴PC是⊙O的切線$

$解：在Rt△ABC中， $

$ ∵ ∠C=90°，AC=3，BC=4， $

$ ∴ 由勾股定理，得AB= \sqrt{AC2+BC2} =5.$

$ 連接BP. $

$ ∵ 四邊形PEBD是菱形， $

$ ∴ PE=BE，PE//AB.$

$ 設(shè)CE=x，則BE=PE=4-x.$

$ ∵ PE//AB， $

$ ∴ △PEC∽△ABC， $

$ ∴ \frac {CE}{CB} = \frac {PE}{AB} ，$

$ 即 \frac {x}{4} = \frac {4-x}{5} ，$

$ 解得x= \frac {16}{9} ， $

$ ∴ CE= \frac {16}{9} ，BE=PE=4- \frac {16}{9} = \frac {20}{9} $

$ ∵ 在Rt△PCE中PE= \frac {20}{9} ，CE= \frac {16}{9} ， $

$ ∴ 由勾股定理，得PC= \sqrt{PE2-CE2} =\frac {4}{3} . $

$ ∴ 在Rt△PCB中，由勾股定理，$

$得BP= \sqrt{PC2+BC2} =\frac {4}{3}\sqrt{10} .$

$ 又 ∵ S_{菱形PEBD}=BE×PC= \frac {1}{2}×DE×BP， $

$ ∴ \frac {20}{9}×\frac {4}{3}\ = \frac {1}{2}DE×\frac {4\sqrt{10}}{3} ，$

$ ∴ DE= \frac {4\sqrt{10}}{9}$

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