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A

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$證明：（1）在△ABD與△ACE中，$

$AB=AC$

$AD=AE$

$BD=CE$

$∴△ABD≌△ACE（SSS），$

$∴BD=CE$

$證明:(2)∵△ABD≌△ACE$

$∴∠1=∠2，$

$∴∠1+∠MAN=∠2+∠MAN，$

$∴∠BAN=∠CAM，$

$∵△ABD≌△ACE，$

$∴∠B=∠C，$

$在△MAC與△NAB中，$

$∠B=∠C$

$∠BAN=∠CAM$

$AB=AC$

$∴△MAC≌△NAB（AAS），$

$∴∠AME=∠AND．$

$證明:在\triangle ABE與\triangle CDF中,$

$\left \{ {{\begin{array}{ll} {AB=CD} \\\ {BE=DF} \\\ {AE=CF} \end{array}}} \right . $

$\triangle ABE\cong \triangle CDF\left ( {SSS} \right ), $

$\therefore \angle AEB=\angle CFD, $

$\because \angle ABE+\angle AEO=18{0}^{\circ },$

$\angle CFD+\angle CFO=18{0}^{\circ }, $

$\therefore \angle AEO=\angle CFO, $

$在\triangle AEO與\triangle CFO中, $

$\left \{ {{\begin{array}{ll} {\angle AOE=\angle COF} \\\ {\angle AEO=\angle CFO} \\\ {AE=CF} \end{array}}} \right . $

$\therefore \triangle AEO\cong \triangle CFO\left ( {AAS} \right ),$

$\therefore AO=CO$

$證明：如圖，∠ABC=90°，$

$AF⊥BF，CF⊥BF，$

$∴∠BAF=∠CBE．$

$在△ABF與△BCE中，$

$∠F=∠BEC$

$∠BAF=∠CBE$

$AB=CB$

$∴△ABF≌△BCE（AAS），$

$∴AF=BE，BF=CE，$

$∵BE+EF=BF，$

$∴EF=CE-AF．$

$證明:(1)∵DE⊥AB，$

$∴∠AED=90°.\ $

$∵ ∠C=90°,$

$∴ ∠C=∠AED.$

$∵AD是∠BAC的平分線，$

$∴∠CAD=∠EAD.$

$又∵AD=AD,$

$∴△ACD≌△AED(\mathrm {AAS}),$

$∴ DE=DC.$

$∵ BD=DF，$

$∴ Rt△BDE≌Rt△FDC(\mathrm {HL}),$

$∴CF=EB.$

$證明:(2)由(1)知△ACD≌△AED,$

$∴AC=AE,$

$∴AB=AE+BE=AC+BE=AF+CF+BE.$

$又由(1)知,CF=EB，$

$∴AB=AF+2BE.$

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