$證明:過E作EG⊥AD,EH⊥BC,EI⊥AF分別于G,H,I$ $又∵AE平分∠BAC,∴EG=EI$ $同理EG=EH$ $又∵EH⊥BC,EI⊥AF$ $∴點E在∠BCF平分線上$ $證明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC$ $∴DE=DF$ $在Rt△BDE和Rt△CDF中$ ${{\begin{cases} {{DE=DF}} \\ {BD=CD} \end{cases}}}$ $∴Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)$ $∴EB=FC$ $證明:(1)過D作DF⊥AB$ $∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB,∴DE=DF$ $∵∠BAD+∠FAD=180°,∠BAD+∠BCD=180°$ $∴∠FAD=∠BCD$ $在△ADF和△CDE中$ ${{\begin{cases} {{∠DAF=∠DCE}} \\ {∠DFA=∠DEC} \\ {DF=DE} \end{cases}}}$ $∴△ADF≌△CDE(AAS),∴AD=CD$ $(2)（更多請點擊查看作業(yè)精靈詳解）$
$解:等腰直角三角形,證明:$ $過F作FS⊥OB于S,FT⊥OA于T$ $∵OP平分∠AOB,FS⊥OB,FT⊥OA$ $∴FS=FT,∠OSF=∠OTF=90°$ $又∵∠AOB=90°$ $∴四邊形OSFT是矩形$ $∴∠SFT=90°$ $∵EF垂直平分線段CD$ $∴FD=DC$ $在Rt△TFC和Rt△SFD中$ ${{\begin{cases} {{TF=SF}} \\ {FC=FD} \end{cases}}}$ $∴Rt△TFC≌Rt△SFD (HL)$ $∴∠TFC=∠SFD$ $∴∠DFC=∠DFT+∠TFC=∠DFT+∠SFD=∠SFT=90°$ $又∵FD=FC$ $∴△CDF是等腰直角三角形$
$證明:∵∠BAD+∠BCD=180°$ $∠BAD+∠FAD=180°$ $∴∠BCD=∠FAD$ $在△ADF和△CDE中$ ${{\begin{cases} {{∠AFD=∠CED}} \\ {∠FAD=∠ECD} \\ {AD=CD} \end{cases}}}$ $∴△ADF≌△CDE(AAS) $ $∴DF=DE$ $又∵DF⊥AB,DE⊥BC$ $∴BD平分∠ABC$
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