解：?$(1)$?甲行走的速度：?$150÷5=30($?米?$/$?分?$)$?
?$(2)$?當(dāng)?$t=35$?時(shí)，甲行走的路程為：?$30×35=1050($?米?$)$?
乙行走的路程為：?$(35-5)×50=1500($?米?$)$?
∴當(dāng)?$t=35$?時(shí)，乙已經(jīng)到達(dá)圖書(shū)館
甲距圖書(shū)館的路程還有?$1500-1050=450($?米?$)$?
∴甲到達(dá)圖書(shū)館還需時(shí)間：?$450÷30=15($?分?$)$?
∴?$35+15=50($?分?$)$?，即當(dāng)?$s=0$?時(shí)，橫軸上對(duì)應(yīng)的時(shí)間為?$50$?
補(bǔ)畫(huà)的圖象如圖所示?$($?橫軸上?$D$?對(duì)應(yīng)的時(shí)間為?$50)$?
?$(3)$?設(shè)乙出發(fā)經(jīng)過(guò)?$x$?分和甲第一次相遇
根據(jù)題意得：?$150+30x=50x$?
解得?$x=7.5$?
?$7.5+5=12.5($?分?$)$?
由函數(shù)圖象可知，當(dāng)?$t=12.5$?時(shí)，?$s=0$?
∴點(diǎn)?$B$?的坐標(biāo)為?$(12.5$?，?$0)$?
當(dāng)?$12.5≤t≤35$?時(shí)，設(shè)線段?$BC$?的表達(dá)式為：?$s=kt+b(k≠0)$?
把?$C(35$?，?$450)$?，?$B(12.5$?，?$0)$?代入
得?$\begin {cases}{12.5k+b=0}\\{35k+b=450}\end {cases} $?，解得?$\begin {cases}{k=20}\\{b=-250}\end {cases}$?
∴?$s=20t-250.$?
當(dāng)?$s=360$?時(shí)，?$20t-250=360$?，解得?$t=30.5.$?
當(dāng)?$35＜t≤50$?時(shí)，設(shè)線段?$CD$?的表達(dá)式為?$y=k_1t+b_1(k_1≠0)$?，
把?$D(50$?，?$0)$?，?$C(35$?，?$450)$?分別代入
得?$\begin {cases}{35k_1+b_1=450}\\{50k_1+b_1=0}\end {cases} $?，解得?$\begin {cases}{k_1=-30}\\{b_1=1500}\end {cases}$?
∴?$s=-30t+1500$?
當(dāng)?$s=360$?時(shí)，?$-30t+1500=360$?，解得?$t=38$?
∴當(dāng)甲行走?$30.5$?分鐘或?$38$?分鐘時(shí)，甲、乙兩人相距?$360$?米?$.$?
