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$\frac{\sqrt{3}}{2}a$

$4 \sqrt{5} cm$

1

$解：(1)DE是圓O的切線，理由：如圖，連接OD$

$因?yàn)镺A= OD所以∠2=∠3$

$因?yàn)锳D平分∠BAC所以∠1=∠2$

$所以∠1=∠3$

$因?yàn)镺D//AC，DE⊥AC$

$所以O(shè)D⊥DE$

$因?yàn)镺D是圓O的半徑$

$所以DE是圓O的切線.$

$解：∵△ABC是等腰三角形，BC=\sqrt{2}$

$∴AC=\sqrt{2}，AB=2，∠DAB=45°$

$∵△ABC旋轉(zhuǎn)后與△ADE重合$

$∴S_{△ABC}=S_{△ADE}，AB=AD=2，$

$AC=AE=\sqrt{2}，∠CAE=∠DAB=45°$

$∴S_{陰影部分}=S_{扇形BAD}-S_{△ABC}+S_{△ADE}-S_{扇形CAE}$

$=S_{扇形BAD}-S_{扇形CAE}$

$=\frac {45\pi ×2^2}{360}-\frac {45\pi ×( \sqrt{2} ) ^2}{360}$

$=\frac {\pi}{4}$

$∴線段BC在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積為\frac {\pi}{4}.$

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$解：( 2 ) 過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AB。連接CD$

$因?yàn)锳D平分∠BAC,$

$DE⊥AC,DP⊥AB,DE=4$

$所以DP=DE=4,$

$∠AED=∠APD=90°$

$因?yàn)镺A=OD$

$所以O(shè)P2=OD2-DP2=9$

$所以O(shè)P=3$

$所以AP=OA+OP=8$

$因?yàn)椤螦ED=∠APD=90°,$

$AD=AD,DE=DP $

$所以△AED≌△APD$

$所以AE=AP=8$

$因?yàn)镈E是圓O的切線$

$∴∠EDC=∠EAD$

$又∠E=∠E$

$∴△CED∽△DEA$

$∴\frac {DE}{CE}=\frac {AE}{DE}$

$所以DE2=AE×CE$

$所以CE=\frac{DE2}{AE}=2$

$所以AC=AE-CE=8-2=6 $

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