$解：( 1 ) ∵A( 0，6 ) ，B( 12，0 ) ，$
$∴OA=6，OB=12，$
$∵∠AEO=30°，∴AE=12，∴OE=6\sqrt{3}，$
$∴點(diǎn)E的坐標(biāo)( 6\sqrt{3}，0 )$
$(2)如圖1，連接DA、DO、DB，連接DM、DN、DF，$
$∵\(yùn)odot D與三角形AOE的三邊相切，切點(diǎn)分別為N、M、F$
$，∴DM⊥OB、DN⊥AB、DF⊥OA，$
$則S_{△AOE}=S_{△DAO}+S_{△DOE}+S_{△DAB}$
$∴\frac {1}{2}OE\cdot OA=\frac {1}{2}OA·DF+\frac {1}{2}OE·DM+\frac {1}{2}AE·DN$
$∵OA=6、OE=6\sqrt{3}、AE=12、DM=DN=DF=r，$
$∴\frac {1}{2}×6\sqrt{3}×6=\frac {1}{2}×6×r+\frac {1}{2}×6\sqrt{3}×r+\frac {1}{2}×12×r$
$解得：r=\frac {6\sqrt{3}×6}{6+6\sqrt{3}+12}=3\sqrt{3}-3$
$( 3 ) ①如圖2，當(dāng)\odot P與AE相切時(shí)，$
$∵PA是\odot P的半徑，∴點(diǎn)A為切點(diǎn)，$
$∵OA=6，∠AEO=30°，$
$∴∠PAO=30°，OP=2\sqrt{3}，∴QP=4-2\sqrt{3}，$
$∴t=( 4-2\sqrt{3} ) 秒.$
$②如圖3，當(dāng)點(diǎn)P與O重合時(shí)，\odot P與AC相切，∴t=4秒.$
$③如圖4，當(dāng)PA=PB時(shí)，\odot P與BC相切，設(shè)OP=x，$
$則PB=PA=12-x，$
$在Rt△OAP 中，x^2＋6^2=( 12-x ) ^2，解得：x=\frac {9}{2}，$
$∴t=4+\frac {9}{2}=\frac {17}{2}(秒)，$
$∴t=4-2\sqrt{3}或4或\frac {17}{2}秒.$
