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$解：( 1)\ \mathrm {S}_{陰影部分}=S_{△ABC}-S_{扇形AEF}$

$∵△ABC為等腰三角形，AD平分∠BAC$

$∴AD⊥BC∵∠BAC=120°$

$∴∠BAD=\frac {1}{2}∠BAC=60°，∠B=90°-60°=30°$

$∵AD=6∴AB=2AD=12，BD=6\sqrt{3}$

$∴BC=2BD=12\sqrt{3}$

$∴S_{陰影部分}=\frac {1}{2}×12\sqrt{3}×6-\frac {120\pi ×6^2}{360}=36\sqrt{3}-12\pi$

$( 2 ) 圓錐底面圓周長：\frac {120\pi ×6}{180}=4\pi底面圓半徑：\frac {4\pi}{2\pi}=2$

$∴圓錐的高 h=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$

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$解：(1)由題意，可得圓錐的母線SA=\sqrt{AO^2+SO^2}=40(\ \mathrm {cm})$

$圓錐的側面展開扇形的弧長l=2\pi \cdot OA=20\pi\ \mathrm {cm}$

$\therefore S_{側}=\dfrac{1}{2}L\cdot SA=400\pi\ \mathrm {cm^2}$

$S_{圓}=\pi AO^2=100\pi\ \mathrm {cm^2}，$

$\therefore S_{全}=S_{圓}+S_{底}=(400+100)\pi =500\pi (\ \mathrm {cm^2})$

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$解：(2)沿母線SA將圓錐的側面展$

$開，如圖， $

$則線段AM的長就是螞蟻所走的最短$

$距離$

$由(1)知，$

$SA=40\ \mathrm {cm}，$

$弧AA'=20\pi\ \mathrm {cm}$

$\because \dfrac{n\pi \times 40}{180}=20\pi\ \mathrm {cm}，$

$\therefore \angle S=n=\dfrac{180\times 20\pi }{40\pi }=90^{\circ}，$

$\because SA'=SA=40\ \mathrm {cm}，SM=3A'M$

$\therefore SM=30\ \mathrm {cm}， $

$\therefore 在Rt\triangle ASM中，$

$由勾股定理得AM=50(\ \mathrm {cm})$

$所以，螞蟻所走的最短距離是50\ \mathrm {cm}. $

$解：圓錐的母線長：$

${\sqrt {{20}^{2}+{(40{\sqrt {2}})}^{2}}}=60(cm)$

$設這個圓錐展開后的圓心角為n°$

$，則{\frac {nπ×60} {180}}=2π×20$

$解得，n=120$

$方案一如圖1，$

$OM=OH=60cm，∠MON=120°$

$在Rt△OBM中，$

$∵ OM=60cm，∠MOB=30°$

$∴BM=30cm,$

$OB={\sqrt {{OM}^{2}-{BM}^{2}}}=30{\sqrt {3}}cm$

$∴ BC=2OB=60\sqrt {3}cm$

$∴ 方案一所需矩形鐵皮的面積：$

$60×60{\sqrt {3}}=3600{\sqrt {3}}(cm^2)$

$方案二如圖2，$

$OM=EF=60cm，∠MON=120°$

$在Rt△MOF中，$

$∵ OM=60cm，∠MOF=60°$

$∴ OF=\frac 1 2OM=30cm$

$∴ FG=OF+OG=90cm$

$∴ 方案二所需矩形鐵皮的面積：$

$90×60=5400(cm^2)$

$∵ 5400＜3600\sqrt {3}$

$∴ 方案二用料最少，此時所需矩形鐵$

$皮的長為90cm，寬為60cm． $

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