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150或42

12、24

42.25

解：?$(1)$?∵?$CD$?是邊?$AB$?上的高

∴?$∠CDB=∠CDA=90°$?

∵?$BC=6$?，?$DB=\frac {18}{5}$?

∴?$CD=\sqrt {CB^2-DB^2}=\sqrt {6^2-(\frac {18}{5})^2}=\frac {24}{5}$?

∵?$AC=8$?

∴?$AD=\sqrt {AC^2-CD^2}=\sqrt {8^2-(\frac {24}{5})^2}=\frac {32}{5}$?

?$(2)△ABC$?是直角三角形

理由：∵?$AD=\frac {32}{5}$?，?$BD=\frac {18}{5}$?

∴?$AB=10$?

∵?$AC^2+BC^2=6^2+8^2=100=10^2=AB^2$?

∴?$△ABC$?是直角三角形

證明：?$(1)$?在直角?$△ABC$?中，?$∠ACB=90°$?

∴?$a^2+b^2=c^2$?

又∵?$CD⊥AB$?

∴?$S_{△ABC}=\frac {1}{2}ab=\frac {1}{2}ch$?

∴?$ab=ch$?

∴?$\frac {1}{a^2}+\frac {1}{b^2}=\frac {a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac {c^2}{(\mathrm {ch})^2}=\frac {1}{h^2}$?

?$(2)$?∵?$(c+h)^2=c^2+2ch+h^2=a^2+b^2+2ab+h^2=(a+b)^2+h^2$?

∴以?$a+b$?，?$h$?，?$c+h $?為邊的三角形是直角三角形

證明：?$(1)$?∵四邊形?$A B C D $?是矩形

∴?$∠D=∠A=∠C=90°$?，?$A D=B C=6$?，?$C D=A B=8$?

由翻折的性質可知：?$EP =A P$?，?$∠E=∠A=90°$?，?$B E=A B=8$?

在?$△ODP $?和?$△OEF $?中

?$\begin {cases}{∠D=∠E}\\{ O D=O E}\\{∠D O P=∠E O F}\end {cases}$?

∴?$△ODP≌△OEF(\mathrm {ASA})$?

∴?$O P=O F$?

解：?$(2)$?∵?$△ODP≌△OEF$?

∴?$O P=O F$?，?$P D=E F$?

∴?$D F=E P$?

設?$ A P=E P=D F=x$?，則

?$PD=EF=6-x$?，?$CF=8-x$?，?$BF=8-(6-x)=2+x$?

在?$Rt△FCB $?根據(jù)勾股定理得：?$ B C^2+C F^2=B F^2$?

即?$ 6^2+(8-x)^2=(x+2)^2$?

解得：?$ x=4.8$?

∴?$A P=4.8$?

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