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證明 ∶ ∵?$AM=2\ \mathrm {MB}$?,?$ AN=2\ \mathrm {NC} $?,?$ AB=AC$?
∴?$AM=AN$?
∵?$AD$?平分?$∠BAC$?
∴?$∠MAD=∠NAD$?
在?$△AMD$?和?$△AND$?中
?$\begin {cases}{A M=A N}\\{∠M A D=∠N A D}\\{A D=A D}\end {cases}$?
∴?$△AMD ≌△AND(\mathrm {SAS})$?
∴?$DM=DN$?
證明:?$(1)$?∵?$AD//BE$?
∴?$∠A=∠B$?
在?$△ACD$?和?$△BEC$?中
?$\begin {cases}{AC=BE}\\{∠A=∠B}\\{AD=BC}\end {cases}$?
∴?$△ACD≌△BEC(\mathrm {SAS})$?
?$(2)CF⊥DE$?,理由如下:
∵?$△ACD≌△BEC$?
∴?$CD=CE$?
又∵?$CF $?平分?$∠DCE$?
∴?$CF⊥DE$?
解 ∶ ∵?$△ABC$?和?$△ADE $?均是等邊三角形?$ $?
∴?$A B=A C=B C$?,?$ A D=A E$?,?$ ∠BAC=∠DAE=60° $?
∴?$∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD$?,?$ $?即?$∠BAD=∠CAE$?
在?$△ABD$?和?$△ACE$?中
?$\begin {cases}{A B=A C}\\{∠B A D=∠C A E}\\{A D=A E}\end {cases}$?
∴?$△ABD ≌△ ACE(\mathrm {SAS})$?
 ∴?$BD=CE$?
∴?$AC+CD=CE$?
證明:?$ (1)$?∵?$△A B C≌△A' B' C'$?
∴?$∠B=∠B'$?,?$ A B=A' B'$?,?$ B C=B' C'$?
∵?$A D $?、?$ A' D'$?分別是?$△A B C $?和?$△A' B' C'$?的中線
∴?$B D=B' D'$?
在?$△ABD$?和?$△A'B'D'$?中
?$\begin {cases}{A B=A' B'}\\{∠B=∠B' }\\{B D=B' D'}\end {cases}$?
∴?$△ABD≌△A'B'D'(\mathrm {SAS})$?
∴?$AD=A'D'$?
?$(2)$?全等三角形的對應(yīng)邊上的中線相等