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38°

$3或4\sqrt{3}$

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$證明： (1)連接OC$

$∵AC平分∠BAD，OA =OC$

$∴∠CAD=∠OCA$

$∴OC//AD$

$∵ED切圓O于點C，得OC⊥DE$

$∴故AD⊥ED$

$ (2)記OC交BF于點H$

$∵∠BFD=∠FDC=∠HCD=90°$

$∴四邊形CDFH是矩形$

$∴BH= FH=4，BF=8$

$故圓O的半徑為\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{17}$

$ 證明：過點O作OE⊥AC，垂足為E，連接OD、OA、OE$

$ ∵AB是圓O的切線$

$ ∴OD⊥AB$

$ ∵AB=AC，點O為BC的中點$

$ ∴∠DAO=∠EAO$

$ 在△ADO和△AEO中$

$ \begin{cases}∠ADO=∠AEO\\∠DAO=∠EAO\\AO=AO\end{cases}$

$ ∴△ADO≌△AEO(\mathrm {AAS})$

$ ∴OD=OE$

$ ∴點E在圓O上$

$ ∴AC是圓O的切線$

$ 證明：連接OD$

$ ∵AD//OC$

$ ∴∠A=∠COB，∠ADO=∠DOC$

$ ∵OD=OA$

$ ∴∠A=∠ADO$

$ ∴∠COB=∠DOC$

$ 在△CDO和△CBO中$

$ \begin{cases}OD=OB\\∠DOC=∠BOC\\OC=OC\end{cases}$

$ ∴△CDO≌△CBO(\mathrm {SAS})$

$ ∴∠CDO=∠OBC=90°$

$∴DC是⊙O的切線。$

$ $

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